4。这个数最小是多少?
❖ 这道题目同样可以用例5的方法进行计算，但是现在我们准 备采用类似于例6的方法。例6的方法之所以方便，是因为歌 诀中给出了70，21和15这三个数，那么这道题目中又该是 多少呢?
❖ 歌诀中的70正好是能被5和7整除，而被3除余1的最小数； 21正好是能被3和7整除，而被5除余1的最小数；15正好是 能被3和5整除，而被7除余1的最小数。
❖ 利用这个思路，我们来解答例7。 ❖ 因为[7，9] =63，63÷5=12……3；而63 x 2=126，
126÷5=25……1。 ❖ 所以能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。
11
例7 (续) 、一个数，除以5余1，除以7余2，除
以9余4。这个数最小是多少?
❖ 能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。 ❖ 同样的方法，我们可以找出能被5和9整除，而被7
除余1的最小数是225；能被5和7整除，而被9除余1 的最小数是280。 ❖ 1×126+2x225+4×280=696。 ❖ 这个数显然太大，接下来就要减去5、7和9的最小 公倍数315， ❖ 直到最后的结果小于315为止。 ❖ 1696 - 315×5 = 121。 ❖ 所以这个数最小是：121。
❖ 2+11=13，13÷8=1……5，不符合； ❖ 13+11=24，24÷8=3，也不符合； ❖ 24+11=35，35÷8=4……3，符合条件。 ❖ 因此这个数最小是35
6
例5、一堆糖果，4个一数多1个，9个一数多4 个，11个一数多9个。这堆糖果至少有多少个?
❖ 这个问题可以概括为：一个数，除以4余1，除以9余4，除以 11余9。
件； ❖ 130+99 =229，229÷4 =57……1 符合“除以4余1”的条件。 ❖ 因此这堆糖果至少有229个。
7
“韩信点兵”的故事
➢ 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走 过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这 队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一 行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队 从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4 人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过， 他记下最后一行士兵的人数（10人）。
➢ 然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数 (2111,4421,……)。
8
《孙子算经》中的题目
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 的题目：
今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？
❖ 还有专门用来解决同一个数除以3，5和7的问题的歌诀 ： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月， 除百零五便得知”
❖ 所以这个两位数是56，70，84的公因数，答 案是14 。
3
例2、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个 10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个. 这盒乒乓球至少有多少个?
❖ 因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不 论是8个8个地数, 10个10个地数, 12个12个地数， 都没有剩余，这时乒乓球的个数就应该是8、10和 12的公倍数。[8，10，12]=120 。
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BYE
The End！ Thank you For your listening!
2015. 08. 22 13
❖ 120+3=123 ❖ 所以这盒乒乓球至少有123个。
4
例3、把几十个苹果平均分成若干份,每份4个余 2个,每份10个余8个,每份25个余23个.这堆苹果 共有几个？
❖ 题目的意思相当于：这个数除以4缺2，除以 10缺2，除以25也缺2。
❖ 因此加上2后，除以4、除以10和除以25时， 就都正好能整除了，也就是4，10和25的公 倍数。
❖ 我们可以从满足“除以11余9”的数中，找出“除以9余4”的 数，这只要依次加上11即可；然后再找出“除以4余1”的数， 这需要依次加上9和11的最小公倍数99即可。
❖ 9+11=20 20÷9=2……2，不符合“除以9余4’’的条件； ❖ 20+11=31 31÷9=3……4，符合“除以9余4”的条件； ❖ 但31÷4 =7……3，不符合“除以4余1"的条件； ❖ 31+99=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ30，130÷4=32……2，也不符合“除以4余1”的条
❖ 实际上70是能被5和7整除但被3除余1，21能被3和7整 除但5除余1，15能被3和5整除但被7除余1。这个系统 算法是南宋时期的数学家秦九韶研究后得到的。 这就是 著名的中国剩余定理。
9
例6、今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五 数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？
❖ 题目中此数被3除余2，那就用70乘以2，被5 除余3。
❖ 歌诀 ：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百零五便得知”
❖ 那么就用21乘3，被7除余2，那就15乘2，相 加：
❖ 70×2 + 21×3 +15×2=233。 ❖ 看情况减3、5、7的最小公倍数的倍数。此题
减105的2倍，得到23。
10
例7、一个数，除以5余1，除以7余2，除以9余
❖ [4，10，25]=100，100一2=98，所以这堆苹 果的数量是98。
5
例4、 有一个数，除以8余数是3，除以11余数 是2，这个数最小是多少？
❖ 由于这个数除以8和11的余数不相同，而且缺少的 数也不相同，因此不能直接利用最小公倍数来解决
❖ 我们先看“除以11余2"这个条件，从小到大依次在 所有满足“除以11余2”的数中寻找“除以8余3” 的数。
中国剩余定理
2015.08.22
1
整数除法
❖ 被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数） ➢A÷B=C＋R ❖ （被除数－余数）÷除数 = 商 ❖ (A － R) ÷ B = C
2
例1、 一个两位数,用它除58余2,除73 余3,除85余1,求这个两位数
❖ 用它除58余2，意外着这个两位数是56（58 － 2）的因数。同样的也是70和84的因数。