空气比热容比的测量摘要：理想气体的定压比热容p C 和定容比热容v C 之间满足关系：P v C C R -=，其中R 为气体普适常数；二者之比P V k C C =称为气体的比热容比，也称气体的绝热指数，它在热力学理论及工程技术的实际应用中起着重要的作用。

本实验利用振幅极值法（共振干涉法）、相位比较法（李萨如图形法），这两种方法测量声速，然后利用声速与空气比热容比的关系，进而可以得到其值。

为了观察实验的准确性，我们在利用直接测量计算空气比热容比的方法，测出其值，然后进行比较。

关键词：振幅极值法 ; 相位比较法 ; 声速 ; 空气比热容比一、声速和空气比热容比的测量 1.实验目的了解超声波产生和接收的原理，加深对相位概念的理解。

掌握声速测量的基本原理及方法。

2.实验仪器信号发生器，示波器、声速测量仪等。

3.实验难点实验原理 、仪器调节。

4.实验原理机械波的产生有两个条件：首先要有作机械振动的物体（波源），其次要有能够传播这种机械振动的介质，只有通过介质质点间的相互作用，才能够使机械振动由近及远地在介质中向外传播。

发生器是波源，空气是传播声波的介质。

故声波是一种在弹性介质中传播的机械纵波。

声速是声波在介质中的传播速度。

如果声波在时间t 内传播的距离为s ，则声速为s v t= ，由于声波在时间T （周期）内传播的距离为λ（波长），则v f t λλ==。

可见，只要测出频率和波长，便可以求出声速v 。

本实验使用交流电信号控制发生器，故声波频率即电信号的频率，它可用频率计测量或信号发生器直接显示。

而波长的测量常用相位比较法和振幅极值法（共振干涉法）。

（1）振幅极值法（共振干涉法）声源产生的一定频率的平面声波，经过空气介质的传播，到达接收器。

声波在发射面和接受面之间被多次反射，故声场是往返声波多次叠加的结果，入射波和反射波相干涉而形成驻波。

在发射面和接受面之间某点的合振动方程为1222cos()cos()y y y A x t πωλ=+= （1）最大振幅（2A ）处被称为驻波的“波腹点”，最小振幅（0）处被称为“波节点”。

波腹点位置：()2A x A =,即2x n ππλ=，(0,1,2......)2x nn λ==波节点位置：()0A x =,即2(21)2x n ππλ=+，(21)(0,1,2......)4x n n λ=+=可知，相邻两个波腹点（或波节点）的距离为2λ，当发射面和接受面之间的距离正好是半波长的整数倍时，即形成稳定的驻波，系统处于共振状态。

(0,1,2......)2L nn λ== （2）共振时，驻波的幅度达到极大，同时，接受器表面的振动位移应为零，即为波节点，但由于声波是纵波，所以声压达到极大值。

理论计算表明，若改变发射器和接收器之间的距离，在一系列特定的距离上，介质将出现稳定的驻波共振现象。

若保持声源频率不变，移动发射源，依次测出接受信号极大的位置1210,...L L L ，12n n L L L λ+∆=-=则可以求出声波的波长λ，进一步计算出声速v 。

（2）相位比较法（李萨如图形法）由声波的波源（简称声源）发出的具有固定频率f 的声波在空间形成一个声场，声场中任一点的振动相位与声源的振动相位之差ϕ∆为 22LfLvππϕλ∆==（3） 在示波器上可观测到发射波与接受波信号的垂直振动合成的李萨如图形。

若发射波合接受波的信号为1122cos()cos()x A t y A t ωϕωϕ=+⎧⎨=+⎩ （4） 则该李萨如图形，即合振动方程为22221212212122cos()sin ()x y xy A A A A ϕϕϕϕ--+-= （5）当210ϕϕϕ∆=-=时，示波器上合振动轨迹为处于第一、第三象限的直线段；当212πϕϕϕ∆=-=时，示波器上合振动轨迹为一正椭圆；当21ϕϕϕπ∆=-=时，合振动轨迹为处于第二、第四象限的直线段。

三种情况下的李萨如图形分别如图1所示。

一般情况下为一斜椭圆。

随着相位差从0变到π时，李萨如图形会依次按如下变化：一、三象限直线段→斜椭圆 →正椭圆 →斜椭圆 →二、四象限直线段。

若在距离声源1L 处的某点振动与声源的振动反相，则1ϕ∆为π的奇数倍： 112(21),(0,1,2......)L n n πϕπλ∆=+== （6）若在距离声源2L 处的某点振动与声源的振动同相，则2ϕ∆为π的偶数倍： 2222,(0,1,2......)L n n πϕπλ∆=== （7）相邻的同相点与反相点之间的相位差为πϕϕϕ=∆-∆=∆12 （8）相邻的同相点与反相点之间的距离为 212L L L π∆=-=将接收器由声源处开始慢慢移开，随着距离为3,,,2 (22)λλλλ，可探测到一系列与声源反相或同相的点，由此可求波长λ。

YX YXX YYX(a) (b) (c) (d)图1 :1:1x y f f =的李萨如图形()()()a b c ϕϕϕϕπϕϕπ21212102-=-=-=()d ϕϕπ2132-=ϕ∆的测定可以用示波器观察李萨如图形的方法进行。

将发射器和接收器的信号，分别输入示波器的X 轴和Y 轴，则荧光屏上亮点的运动是两个相互垂直的谐振动的合成，当Y 方向的振动频率与X 方向的振动频率比即:x y f f 为整数时，合成运动的轨迹是一个稳定的封闭图形，称为李萨如图形。

李萨如图形与振动频率之间的关系如图1所示。

由图1可知，随着相位差的改变将看到不同的椭圆，而在各个同相点和反相点看到的则是直线。

5.数据记录与计算 （1）振幅极值法f=35.743KHz, t=21.4℃表1 振幅极值法计算：0331.45331.45344.2/v m s ===25L λ=∆()2124.4124.4624.3824.4124.599.7855mm =⨯++++⨯= 3335.743109.7810349.6/v f m s λ-==⨯⨯⨯=00349.6344.2100%100%1.57%344.2v v v η--=⨯=⨯=320.5%1.0310f Hz μ====⨯0.1622c l mm μ∆===2.53 2.6(/)cv m s μ=== 〔绝对不确定度保留一位有效数字，只进不舍〕 结果表达式：349.62.6(/)cv V v m s μ=±=± 〔真值的最佳估计值的修约为四舍六入五凑偶，末位和不确定度对齐〕 空气的比热比（绝热系数）。

223(349.6)28.96410 1.4458.3145(21.4273.15)v M k RT -⨯⨯===⨯+（2）相位比较法f=35.868KHz, t=23.4℃表2 相位比较法计算：3335.7431023.9210342.0(/)55vf f l m s λ-==∆=⨯⨯⨯⨯= 00342.0344.2100%100%0.58%344.2v v v η--=⨯=⨯=321.0410f Hz μ====⨯0.0358c l mm μ∆=== 3.41 3.5(/)cv m s μ===结果表达式：342.0 3.5(/)cv V v m s μ=±=± 空气的比热比（绝热系数）。

223(342.0)28.96410 1.3748.3145(23.4273.15)v M k RT -⨯⨯===⨯+6.实验结果 空气中的声速为：振幅极值法 349.6 2.6(/V m s =± 李萨如图法 342.0 3.5(/V m s =±空气绝热系数为： 振幅极值法 1.445k =李萨如图法 1.374k = 7.实验中易出现的问题（1）声波发射器和声波接收器的两个端面尽量调平行。

（2）注意电路的正负极要接正确。

（3）若信号源的输出频率不稳定，可取其平均值。

输出电压有效值3伏。

（4）信号源仪器误差为0.05%f f ∆=⨯，游标卡尺仪器误差为0.02mm 。

（5）实验室温度从温度计读出。

二、空气比热容比的测定（空气绝热指数） 1.实验的目的通过工程热力学气体的热力过程的学习可知，理想气体在可逆的绝热过程中，其过程方程可用k pv C = （1） 表示，p vC k C =称为绝热指数。

对于室温状态下的双原子气体，k =1.4，在本实验中，用一个十分简单的办法，去确定空气在室温状态下的k 值。

空气的千摩尔比热C ，空气的定压比热p C ，定容比热容v C 。

通过实验可知：(1)判断理论计算中所求得的k 值是否与实际情况相符；(2)观察实验过程中所发生的现象加深对有关的热力过程的感性认识； (3)可逆的绝热过程往往是实际过程的一种理想的过程，是用以判断实际过程的一种标准过程，通过实验可加深对这种过程的认识；(4)本实验是利用很简单的设备来完成的，它有助于启发人们如何根据实验的主要目的其设计实验，如何去简化实验数据的整理。

2.实验原理在图2中设法使一定量的空气先处于压力为01p gh ρ+（0p 为大气压）温度为0T （0T 为室温）的已知状态中，然后使该一定量的空气作很接近于绝热过程的膨胀，到达压力0p 为已知而温度T 为未知的状态2，最后再使该一定量的空气在等容加热的条件下达到压力为02p gh ρ+，温度为0T 状态3，按照状态1、2、3有关的已知参数，就可确定k 。

因为状态1和状态3的温度相同1133k kp v p v ⋅=⋅ （9） 状态1和状态2处于绝热过程线上1122k kp v p v ⋅=⋅ （10） 将式（9）k 次方再用（9）式除以（10）式可得：31111232kkk p p p pp p p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭即 1213ln()ln()p p k p p =(11)在图2中123p p p 、、均是已知的，因此按（11）式就可以求出k ，但为了省去求对数麻烦，（11）式尚可进一步简化，（11）式的各压力值可用与之相同的水柱高度代入，设大气压0p 的水柱高度H ＝10米（11）式即为：111121212222ln 1ln 1ln ln ln ln 1h h H h H H H k H h H h h h h h H h H h H h ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭（12） 在实验时，h 通常为20cm 左右，1122200.0211000h h h H H h -==<<<<+，因此按照麦克劳林级数：()23ln 126x x x x +=-+当1x <<时可取()ln 1x x +≈ 所以（12）式变为1122()()h Hk h h H h =-+ （13）又因2H h >>，在2H h +中可忽略2h ，上式又可简化为： 112h k h h =- （14）在图2中1h 和2h 是已知的，k 就可由（14）式简便地算出来了。