平面向量基本定理与三角形四心已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：O ABC ∆AOB AOC BOC ∆∆∆,,A S B S C S 0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A 如图2延长与边相交于点则OA BC D BC COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC=C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABODS S S S S S S S S S SOAOD +=++===图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB AS S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC ∴0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A 推论是内的一点，且，则O ABC ∆0=++∙∙∙OC OB OA z y x zy x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式是的重心O ABC ∆⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OA 是的内心O ABC ∆⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔=++∙∙∙OC OB OA c b a 是的外心O ABC ∆⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔02sin 2sin 2sin =++∙∙∙OC C OB B OA A 是的垂心O ABC ∆ ⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔0tan tan tan =++∙∙∙OC C OB B OA A 证明：如图为三角形的垂心，O DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan ==∆∆COA BOC S S :ADDB :∴BA S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得，CB S S AOB COA tan :tan :=∆∆CA S S AOB BOC tan :tan :=∆∆∴CB A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
与“重心”有关的向量问题1 已知是所在平面上的一点，若，则是的(G ABC △0GA GB GC ++=G ABC △)．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心如图⑴.A'A2已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足O A B C ，，P ，，则的轨迹一定通过的( ).()OP OA ABAC λ=++(0)λ∈+∞，P ABC △A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意，当时，由于表示边上()AP AB AC λ=+ (0)λ∈+∞，()AB AC λ+BC 的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵.P ABC △3.O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足（λ∈（0，+∞）），则动点P 的轨迹一定通过图⑴图⑵an n △ABC 的（ ）A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，∴=由加法法则知，P 在三角形的中线上故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心故选：B ．与“垂心”有关的向量问题3 是所在平面上一点，若，则是的( )P ABC △PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅P ABC △A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由，得，即，所PA PB PB PC ⋅=⋅ ()0PB PA PC ⋅-=0PB CA ⋅= 以．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶.PB CA ⊥PC AB ⊥PA BC⊥P ABC △4已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足O A B C ，，P ，，则动点的轨迹一定通过cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭(0)λ∈+∞，P 的( )．ABC △A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心图⑶图⑷A【解析】由题意，cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭由于，0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭即,所以表示垂直于的向量，即0cos cos AB BC AC BCBC CB AB B AC C⋅⋅+=-=AP BC 点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图P A BC P ABC △⑷.5若为所在平面内一点，且H ABC △222222HA BC HB CA HC AB+=+=+ 则点是的( )H ABC △A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心证明:2222HA HB CA BC -=- ()()HA HB BA CA CB BA∴+∙=+∙得()0HA HB CA CB BA +--∙=即 ()0HC HC BA +∙=AB HC ∴⊥同理，,AC HB BC HA ⊥⊥故H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题6已知为所在平面上的一点，且，，．若I ABC △AB c =AC b =BC a =，则是的( )0aIA bIB cIC ++=I ABC △．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】∵，，则由题意得，IB IA AB =+ IC IA AC =+()0a b c IA bAB cAC ++++= ∵，AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫ ⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭∴．∵与分别为和方向上的单位向量，bc AB AC AI a b c AB AC⎛⎫⎪=+⎪++⎝⎭ABABAC AC AB AC ∴与平分线共线，即平分．AIBAC ∠AI BAC ∠同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图⑸.BI ABC ∠CI ACB ∠I ABC △7已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足O A B C ，，P ，则动点的轨迹一定通过的( =OP OA +λAC AB (0)λ∈+∞，P ABC △)．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得，∴当时，表示的平分AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭(0)λ∈+∞，AP BAC ∠线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹.P ABC △8若O 在△ABC 所在的平面内：=图⑸图⑹，则O 是△ABC 的（ ）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心解：∵向量的模等于1，因而向量是单位向量∴向量、和等都是单位向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，∵可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ，∴O 是△ABC 的内心．故选：C ．与“外心”有关的向量问题8已知是所在平面上一点，若，则是的( )．O ABC △222OA OB OC == O ABC △A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】若，则，∴，则222OA OB OC == 222OA OB OC == OA OB OC == 是的外心，如图⑺。
O ABC △图⑺图⑻9已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足O A B C ，，P ，，则动点的轨迹一定通过2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭(0)λ∈+∞，P 的( )。
ABC △A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由于过的中点，当时，2OB OC+BC (0)λ∈+∞，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。
），所以cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭BC 在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻P BC P ABC △ 四心的相互关系1.三角形外心与垂心的向量关系及应用设的外心为，则点为的垂心的充要条件是。
ABC △O H ABC △OH OA OB OC =++2.三角形外心与重心的向量关系及应用设的外心为，则点为的重心的充要条件是ABC △O G ABC △1()3OG OA OB OC =++3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设的外心、重心、垂心分别为、、，则、、三点共线（、、ABC △O G H O G H O G 三点连线称为欧拉线），且。
H 12OG GH =相关题目10．设△ABC 外心为O ，重心为G ．取点H ，使．求证：（1）H 是△ABC 的垂心；（2）O ，G ，H 三点共线，且OG ：GH=1：2．【解答】证明：（1）∵△ABC 外心为O ，∴又∵∴则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O，G，H三点共线，且OH=3OG即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2。