初等数论第一次作业简答题1. 叙述整数a被整数b整除的概念。

2. 给出两个整数a，b的最大公因数的概念。

3. 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。

4. 叙述合数的概念，并判断14是否为合数。

5. 不定方程c+有整数解的充分必要条件是什么？byax=6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。

7. 写出一组勾股数。

8. 写出两条同余的基本性质。

9. 196是否是3的倍数，为什么？10. 696是否是9的倍数，为什么？11. 叙述孙子定理的内容。

12. 叙述算术基本定理的内容。

13.给出模6的一个完全剩余系。

14.给出模8的一个简化剩余系。

15.写出一次同余式)ax≡有解得充要条件。

(mod mb答：1.设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq 成立，我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a。

2.设a,b是任意两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。

a,b的公因数中最大的一个叫做最大公因数。

3.一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。

14的所有质数为2,3,5,7,11,134.一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。

14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。

5.不定方程cax=+有整数解的充分必要条件是。

by6.没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。

7.一组勾股数为3,4,5。

8.同余的基本性质为：性质1 m为正整数，a，b，c为任意整数，则①a≡a（mod m）；②若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；③若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）。

性质3①若（mod m），（mod m），则（mod m）②若a＋b≡c（mod m），则a≡c－b（mod m）。

9.196不是3的倍数。

因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。

所以a=196，b=3，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以196不是3的倍数。

10.696不是9的倍数。

因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。

所以a=696，b=9，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以696不是9的倍数。

11.孙子定理的内容为：设是k个两两互质的正整数,(1)设,则同余式组(1)的解是(2)其中是满足的任一个整数，i＝1,2,…,k。

12.任一大于1的整数能表成质数的乘积，即任一大于1的整数，（1）其中是质数，并且若，,其中是质数，则m＝n，，i＝1，2，…，n。

13.模6的一个完全剩余系为1，2，3，4，5，6。

14.由于8的标准分解式为8=23，所以所以模8的一个简化剩余系由4个数构成，这两个数都与8互质，并且它们关于模8不同余。

比如1,7就是模8的一个简化剩余系。

15.一次同余式)ax 有解的充要条件是(a,m)|b。

b(mod m填空题1．9除28的商是 3 。

2．11除23的余数是 1 。

3．6的正因数是1,2,3,6 。

4．{4.5}= 0.5 。

5．[8.3] +[-8.3] = ﹣1 。

6．30的最小质因数是 2 。

7．在所有质数中，是偶数的是 2 。

8．在所有质数中，最小的奇质数是 3 。

9．大于4小于16的素数有___ 5, 7, 11, 13 __ ____。

10．不定方程c+ax=by11．模5的最小非负完全剩余系是{0,1,2,3,4,} 。

12．模4的绝对最小完全剩余系是﹣1, 0, 1, 2 。

13．5555的个位数是 5 。

14．77的个位数是_______ 3 ________。

15．316的十进位表示中的个位数字是 1 。

16．66的个位数是 6 。

17．710被11除的余数是 1 。

18．（1516，600）= 227400 。

19．6的所有正因数的和是12 _。

20．24与60的最大公因数是12 。

21．35的最小质因数是 5 。

22．46的个位数是 6 。

23．8的所有正因数的和是7 _。

24．18的标准分解式为18=2×3 ²。

25．20的欧拉函数值)(ϕ= 8 。

20计算题1．求169与121的最大公因数。

解：（169，121）=（169 – 121，121）=（48，121）=（48，121 – 48）=（48，73）=（48，25）=（23，25）=12．求出12!的标准分解式。

解：e d c b a 117532!12⨯⨯⨯⨯=，10812412212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a ，5912312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b ， 2512=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=c ，1712=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d ，11112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e ， 所以12!的标准分解式为117532!122510⨯⨯⨯⨯=3．求不定方程3x - 4y = 1的一切整数解。

解：因为（3,4）= 1，所以不定方程有整数解。

观察知x = 3，y = 2是其一个整数解。

由公式知其一切整数解为⎩⎨⎧+=+=t y t x 3243，t 为整数。

4．求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。

解：因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。

观察知其一个整数解是0013x y =⎧⎨=-⎩。

于是其一切整数解为1237x t y t =+⎧⎨=--⎩，t 取一切整数。

5．解同余式3x ≡ 1 (mod 7)。

解：因为（3,7）= 1，所以同余式有解且有一个解。

由3x - 7y = 1得⎩⎨⎧+=+=ty t x 3275，所以同余式的解为)7(mod 5≡x .6．解同余式3x ≡ 8 (mod 10)。

解：因为（3,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一个解。

由3108x y -=得一个解0061x y =⎧⎨=⎩，所以同余式的解为6(mod10)x ≡. 7．解同余式28x ≡ 21 (mod 35)。

解：因为（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x ≡ 21(mod 35)有解，且有7个解。

同余式28x ≡ 21(mod 35)等价于4x ≡ 3(mod 5)，解4x ≡ 3(mod 5) 得x ≡ 2(mod 5)，故同余式28x ≡ 21(mod 35)的7个解为x ≡ 2，7，12，17，22，27，32(mod 35).8．解同余式组：⎩⎨⎧≡≡)5(mod 2)3(mod 1x x 。

解：由)3(mod 1≡x 得13+=k x ，将其代入)5(mod 2≡x得)5(mod 213≡+k ，解得)5(mod 2≡k ，即25+=t k ，所以715+=t x ，所以解为)15(mod 7≡x .9．解同余式组：⎩⎨⎧≡≡)7(mod 3)5(mod 2x x 。

解：由)5(mod 2≡x 得25+=k x ，将其代入)7(mod 3≡x得)7(mod 325≡+k ，解得)7(mod 3≡k ，即37+=t k ，所以1735+=t x ，所以解为)35(mod 17≡x .10．解同余式组：1(mod3)2(mod 7)x x ≡⎧⎨≡⎩。

解：由1(mod3)x ≡得1113,x t t Z =+∈，将其代入2(mod7)x ≡得1132(mod 7)t +≡，即131(mod 7)t ≡，解得15(mod 7)t ≡，所以12257,t t t Z =+∈，于是12221313(57)1621,x t t t t Z =+=++=+∈。

所以同余式组的解为16(mod 21)x ≡.11．解同余式组：1(mod 2)1(mod 3)1(mod 5)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩。

解：因为2，3，5两两互质，所以由孙子定理该同余式组有一个解。

由孙子定理可得该同余式组的解为x ≡ 1(mod 30).12．一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数有许多的约数是两位数，求出这些两位约数中最大的那一个。

解：设这个数为n ，则由已知条件可得7532235⨯⨯⨯=n 。

由于11|99，98|72，97|97，所以99，98，97都不是n 的约数。

又32965⨯=，所以96是n 的约数，所以n 的两位约数中最大的为96.初等数论第四次作业证明题1．设n 是整数，证明6 | n (n + 1)(2n + 1)。

证明：若n 为偶数，则n(n + 1)(2n +1)是偶数若n 为奇数，则n+1是偶数，所以n(n + 1)(2n +1)是偶数在证这个数能被3整除，若n 被3整除，则n(n + 1)(2n +1)能被3整除若n 被3除余1，则2n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除 若n 被3整余2，则n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除 所以6| n (n + 1)(2n + 1).2．设n 是整数，证明：n n -3|6。

证明： )1()1()1)(1()1²(3+-=+-=-=-n n n n n n n n nn 由此知 若n=1 则该式＝0 是6的倍数若n>1 则该式为三个连续正整数乘积在3个连续正整数中 至少有1个是偶数 即可被2整除在3个连续正整数中 必有1个是3的倍数 即可被3整除所以该式即可被2*3＝6整除.3．设x ，y 均为整数。

证明：若y x 2|7+，则y x 610|7+。

证明：yx yy x yy x y y x y x 610|714|7,2|714)2(10142010610+∴-+-+=-+=+ 4．设x ，y 均为整数。

证明：若y x 9|5+，则y x 78|5+。

证明：yx yy x yy x y y x y x 785655,9|565)9(86572878+∴-+-+=-+=+5．设x 是实数，n 是正整数，证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x ][。

证明：令，则由定义有，于是。

由于na ，n(a + 1)均为整数，所以，从而，由定义得，所以。

6．设p 是质数，证明：m m p p p p =++++)()()()1(2ϕϕϕϕ 。

证明：因为p 是质数，所以，。

于是。

7．证明：若c a |，d b |，则cd ab |。

证明：由c a |，d b |知存在整数p ，q 使得ap c =，bq d =，所以abpq apbq cd ==， 因为pq 为整数，所以由整除的定义知cd ab |。

8．证明：若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m d b c a +≡+。