轨迹是圆，半径…圆心…频率… 设 Jx = Jy = Je，第二式可以写成
1 1 (t ) cos 0 t 0 0
可见，力矩 Mx1 引起转子轴同 时绕内外两个框架作等幅振荡，相 位相差90度。
消去时间变量，得到轨迹方程
二自由度陀螺仪 脉冲响应：计算例子
例子：设 Jx = Jy = Je = 1.38 克· 厘米· 秒2， H = 5160 克· 厘米· 秒， （注：克 = 克重，相当 于每克物体的重量）
二自由度陀螺仪 脉冲响应：只考虑Mx1 1 2 2 (t ) sin 0 t 1 1 2 0 1 Jx J x 0 0 1 (t ) cos 0 t
H H
由此可以得到从 Mx1、My 分别到α 和β 的四个传递函数 改写分母项
2 H 2 J x J y s 2 H 2 J x J y (s 2 ) J x J y (s 2 0 ) JxJy 固有振荡频率
二自由度陀螺仪 脉冲响应：初始分析 M x1 冲击力矩的数学模型：脉冲函数， J x 数值极大，时间极短，对时间的积 M 分是一个有限值 J
二自由度陀螺仪 转子轴描述：轨迹平面
转子轴运动轨迹（位置）的描述
转子轴运动过程中，在空 间扫描出一个锥面
转子轴在中心球面上的交 点划出的一段曲线
将球面展开，得到广义的 坐标平面 两个框架角为描述转子轴 位置或运动的广义坐标 （类 似地球的经纬度）
二自由度陀螺仪 系统模型：拉氏变换
二自由度陀螺仪的技术方程


二自由度陀螺仪 系统模型：只考虑Mx1
令 My=0，只考虑 Mx1 对外框架角α 的影响 ：
系统方块图分析 每个力矩都同时引起陀螺仪 的两种运动
对内框架角β 的影响：
陀螺力矩耦合内外框架的运 动
单个外加力矩如何分别影响 陀螺内外框架的运动？
二自由度陀螺仪 系统模型：稳态分析
(s)
M x1 ( s ) 1 J xs2 1 1 J xs2 1 Hs Hs 2 J s y 1 1 Hs 2 J xs J ys2
拉氏变换
M H J x x1 H My Jy
0 H s ( s) 0 M x1 ( s) J x s ( s) s 0 2 H s ( s) M ( s) J y s ( s) s 0 0 0 y
陀螺系统的初始条件都为零时，频域输出响应为
M y0 M x10 H ( s) 2 2 2 2 s JxJ ys H s( J x J y s H ) s M y0 Jx M x10 H ( s) 2 2 2 2 s s JxJ ys H s( J x J y s H ) Jy
二自由度陀螺仪 运动方程：矢量表示
转子相对惯性空间的角速度：需要合成 内框架坐标系相对惯性空间的角速度：
xi y j z k
s · k
转子相对内框架的角速度：
)k ' x i y j ( z
转子的动量矩：
cos ) d ( M Jx H x dt d cos M y Jy H dt
) H M cos sin · J x ( x H cos M J
y y
i j k x y z
拉氏变换方程
J x s 2 ( s) Hs ( s) M x1 ( s) J y s ( s) Hs ( s) M y ( s)
2
改写方程，画出系统方块图
1 M x1 (s) Hs (s) 2 (s) J xs 1 M y ( s) Hs ( s) ( s) 2 J ys
转子的绝对角速度：
)k H J x x i J y y j J z ( z
二自由度陀螺仪 运动方程：推导
根据动量矩定理和苛氏定理
其中
~ d y d x d ( x ) dH Jx i Jy j Jz k dt dt dt dt i j k H x y z J x x J y y J z ( z )
以上称变态欧拉动力学方程 对每个坐标分量，分别写出方程 陀螺马达稳态工作时， 驱动力矩和摩擦力矩抵 消，因此
) 常量 J z ( z
对前两式，ω 的各 分量远小于dγ /dt，忽 略高阶小量，得到简 化方程
实际的陀螺中，一般赤道转动惯量 Jx = Jy，由第三式可得
d ( z ) Jz Mz dt
y y
1
陀螺技术方程

0
t1 时刻两个框架获得的角速度 t1 t1
0
M x1dt Jx
1

0
0
M y dt Jy
M H J x x1 H My Jy
dt 0 1
t1 时刻两个框架转过的角度 t1 t1
dt 0 1
~ dH dH H M dt dt
) y J y y z ]i [ J z ( z ) x ] j [ J x x z J z ( z [ J y x y J x x y ]k
二自由度陀螺仪 运动方程：合并简化
d x Jx H y M x dt d y Jy H x M y dt
关于框架角速度和 外加力矩的方向
二自由度陀螺仪 运动方程：角速度投影
cos y sin x z
代入简化方程，得到
求导式展开 角速度的投影 内框架坐标系 x y z 的ω 等于两 个欧拉角速度的矢量和
拉氏变换方程
J x s 2 ( s) Hs ( s) M x1 ( s) J y s 2 ( s) Hs ( s) M y ( s)
Jy
求解两个框架角α 、β ，得到
H ( s) M x1 ( s) M y ( s) 2 2 2 2 JxJ ys H s( J x J y s H ) Jx H ( s) M y ( s) M x1 ( s) 2 2 2 2 JxJ ys H s( J x J y s H )
t1 后，力矩消失，技术方程变为
设力矩作用前，初始条件均为零 冲击力矩开始作用后，惯性力矩 极大，陀螺力矩可忽略，得到
0 H J x H 0 Jy
基于新的初始条件，做拉氏变换
二自由度陀螺仪 脉冲响应：拉氏变换
考虑 t1 时刻的新初始条件，进行拉氏变换 2 x 2 y 求解α (s) 和β (s)，得到
求反拉氏变换，得
1 (t ) cos t sin 0 t 1 0 H H 0 1 Jx J x 1 (t ) 1 cos 0 t sin 0 t H H 0 Jy
Jy 1
为了简化分析，只考虑沿着外框架轴的力矩 Mx1 的影响
2
2


整理
0 H 0 J x s ( s) Hs ( s) M x1 ( s) J x s 0 H J s 2 ( s) Hs ( s) M ( s) J s
y y y


0
0

0
当初始条件都为零，得到
二自由度陀螺仪 系统模型：系统方块图
d x Jx J z ( z ) y J y y z M x dt d y Jy J z ( z ) x J x x z M y dt d ( z ) Jz J y x y J x y x M z dt
0.362 0.262rad / s 15deg /s 1.38
二自由度陀螺仪 阶跃响应：输入输出
如果陀螺仪受到的力矩为常值，可以用阶跃函数表示：
M x1 (t ) M x10 1(t ) M y (t ) M y 0 1(t )
M x10 M x1 ( s) s M y0 M y ( s) s
部分分式展开，并令ω 02 = H2 / (Jx· Jy)，得到
1 J y J x
HJ y 1
二自由度陀螺仪 脉冲响应：反变换 s Jy Jy 1 0 1 ( s) 1 2 2 2 2 Hs H (s 0 ) 0 s 0
s Jx Jx 0 1 1 1 ( s) 2 2 2 2 Hs H (s 0 ) 0 s 0
(s)
M x1 ( s )
反馈系统，如果前向通道有积 分环节，则其稳态特征一般主要 由反馈通道决定

1 1 Hs 1 Hs 2 2 J s J s x y
稳态响应，令上式中 s→0，则

M x1

Jy

H2
M x1
1 H
等效弹簧效应
进动效应
二自由度陀螺仪 系统模型：传递函数
Mx1 = 36200 克· 厘米，
Jx H 5160 0 3740rad / s 595Hz J e 1.38 1 章动的幅度（半径） 7 105 rad 0.23 角分 0
章动的特点：高频、微幅
1

t1 = 1 ×10-5 秒。 t1
0
Mx1(t )dt
1 J s ( s) Hs (s) J x J s ( s) Hs ( s) J
y
1
/J 1 H 1 x ( s) J x J y s 2 H 2 s( J x J y s 2 H 2 ) s 2 H 2 / J x J y s( s 2 H 2 / J x J y ) 1 / J y JxJy H 1 HJ x 1 1 (s) 2 2 2 2 2 2 2 J x J y s H s( J x J y s H ) s H / J x J y s(s H 2 / J x J y )