第八章1. 解：（1）假设检验的基本思想是，样本平均数与总体平均数出现差异不外乎两种可能：一是改革后的总体平均长度不变，但由于抽样的随机性使样本平均数与总体平均数之间存在抽样误差；二是由于工艺条件的变化，使总体平均数发生了显著的变化。

因此，可以这样推断：如果样本平均数与总体平均数之间的差异不大，未超出抽样误差范围，则认为总体平均数不变；反之，如果样本平均数与总体平均数之间的差异超出了抽样误差范围，则认为总体平均数发生了显著的变化。

根据样本平均数的抽样分布定理，有x Z σx μ±=或Z /σμx x ≤-。

当0=Z 时，表明样本均值等于总体均值，即μx =；当Z 很大时，表明样本均值离总体均值很远，即∆很大。

后一种情况是小概率事件。

在正常情况下，小概率事件是不会发生的，那么在一次抽样中小概率事件居然发生了，我们就有理由认为样本均值是不正常的，它与原总体相比，性质已经发生变化，应该拒绝接受原假设。

（2）假设检验的一般步骤包括：① 提出原假设和备择假设；对每个假设检验问题，一般可同时提出两个相反的假设：原假设和备择假设。

原假设又称零假设，是正待检验的假设，记为H 0；备择假设是拒绝原假设后可供选择的假设，记为H 1。

原假设和备择假设是相互对立的，检验结果二者必取其一。

接受H 0，则必须拒绝H 1；反之，拒绝H 0则必须接受H 1。

② 选择适当的统计量，并确定其分布形式；不同的假设检验问题需要选择不同的统计量作为检验统计量。

在例中，我们所用的统计量是Z ，在H 0为真时，N Z ~(0，1)。

③选择显著性水平α，确定临界值；显著性水平表示H 0为真时拒绝H 0的概率，即拒绝原假设所冒的风险，用α表示。

假设检验就是应用了小概率事件实际不发生的原理。

这里的小概率就是指α。

但是要小到什么程度才算小概率? 对此并没有统一的标准。

通常取α=0.1，0.05，0.01。

给定了显著性水平α，就可由有关的概率分布表查得临界值，从而确定H 0的接受区域和拒绝区域。

临界值就是接受区域和拒绝区域的分界点。

④作出结论。

根据样本资料计算出检验统计量的具体值，并用以与临界值比较，作出接受或拒绝原假设H 0的结论。

如果检验统计量的值落在拒绝区域内，说明样本所描述的情况与原假设有显著性差异，应拒绝原假设；反之，则接受原假设。

2. 解：（1）抽样估计和假设检验都是统计推断的重要内容。

如果总体分布形式已知，只是总体参数未知，则统计推断问题就归结为推断总体参数的问题。

抽样估计或称参数估计是根据样本资料估计总体参数的真值，而假设检验是根据样本资料来检验对总体参数的先验假设是否成立。

区间估计通常求得的是以样本估计值为中心的双侧置信区间，而假设检验不仅有双侧检验也常常采用单侧检验，视检验的具体问题而定。

区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度(可信度)1-α去估计总体参数的置信区间。

而假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性水平α去检验对总体参数的先验假设是否成立。

区间估计和假设检验虽各有其特点，但也有着紧密的联系。

两者都是根据样本信息对总体参数进行推断，都是以抽样分布为理论依据，都是建立在概率基础上的推断，推断结果都有一定的可信程度或风险；对同一实际问题的参数进行推断，使用同一样本、同一统计量、同一分布。

因而，两者可以相互转换，即区间估计问题可以转换成假设检验问题，假设检验问题也可以转换成区间估计问题。

这种相互转换形成了区间估计与假设检验的对偶性。

（2）根据置信区间进行假设检验的方法如下：以总体均值μ的区间估计和假设检验为例，当总体方差2σ已知时，n x /σσ=，由于统计量)/(00n σ/μx /σμx Z x -=-=~ N (0, 1)给定置信度1－α时，有αZ Z P α-=≤1)(2反之αα=>)(2Z Z P当总体均值μ可知时，可估计的μ置信度为1－α的置信区间为22/)-(αασμZ x Z x ≤≤-上式等价于Z 检验的接受区域：2αZ Z ≤若事先假设：0μμ=，可求出统计量Z 的具体值。

当2αZ Z ≤时，不属于小概率事件，应接受原假设；反之，当2αZ Z >时，小概率事件发生了，按假设检验的规则，应拒绝原假设。

可见，区间估计中的置信区间对应于假设检验中的接受区域，置信区间之外的区域就是拒绝区域。

对比率、方差等问题的区间估计和假设检验也同样存在这种对偶性。

3. 解：根据题意，提出假设：H 0：1000=μ，H 1：1000≥μ 检验统计量)//(/00n x x Z x σμσμ-=-=1.2)25/100/(1000-589==由α=0.02，查《正态分布分位表》(附录2表4)得临界值054.2=αZ由于Z = 2.1＞αZ = 2.054，所以应拒绝H 0而接受H 1，即这批元件的使用寿命不低于1000小时，是合格品。

4. 解：根据题意，提出假设：H 0：500=μ，H 1：500<μ检验统计量)//(/00n x x Z x σμσμ-=-=5.2)100/20/(500-954==由α=0.05，查表得临界值645.1=αZ由于Z =2.5＞Zα/2 =1.645，所以应拒绝H 0而接受H 1，即工艺改革后这批产品的使用寿命确有显著提高。

5. 解：第一类错误：当原假设H 0为真，但由于样本的随机性使样本统计量落入了拒绝区域，这时所作的判断是拒绝原假设。

这类错误称为第一类错误，亦称拒真错误，它实质上就是前面提到的显著性水平α，即P {拒绝H 0∣H 0为真}=α。

第二类错误：当原假设H 0为不真，但由于样本的随机性使样本统计量落入接受区域，这时的判断是接受原假设。

这类错误称为第二类错误，亦称取伪错误。

犯第二类错误的概率亦称取伪概率，用β表示，即P {接受H 0∣H 0不真}=β。

在一般场合，当n 固定时，减少α必然导致β增大；反之减少β必然会增大α。

以利用Z 统计量进行右侧检验的情况为例；α= P （Z ＞Z α∣H 0为真）β= P （Z≤Z α∣H 0为真）要使α小，则临界值 Z α增大，而 Z α增大必然导致β增大。

反之，要使β小，则必然导致α增大。

6. 解：正态分布是与自由度无关的一条曲线，t 分布是依自由度而变的一组曲线。

t 分布较正态分布顶部略低而尾部稍高。

在小样本情况下二者的区别较大，t 分布呈现尖峰后尾特征。

当自由度趋于无穷大时，t 分布曲线就成为标准正态分布曲线。

在总体方差未知的情况下，检验均值特征使用t 分布。

7. 解：根据题意，提出假设：H 0：800=μ，H 1：800≠μ 检验统计量)//(/00n x x Z x σμσμ-=-=333.1)16/60/(800208=-=由α=0.01，查表得临界值Z α=2.326由于Z =1.333<Z α=2.326，所以应拒绝H 0而接受H 1。

8. 解：假设H 0：0P =0.4，H 1：P <0.4。

样本比率P =m/n=76/200=0.38由于样本容量大，所以可近似采用Z 检验法，有331.20343.008.020062.038.03.038.0)1(0==⨯-=--=n p P P P Z给定α=0.05，查《正态分布分位表》(附录2表5)得645.1=αZ 。

由于αZ Z >，拒绝原假设，即认为报纸的订阅率显著降低了。

9. 解：已知250000=μ，10=n ，计算得25200=x ，666.332=S提出假设：H 0：25000=μ，H 1：25000≠μ检验统计量｜t ｜=)//()(/)(00n S x x x μσμ-=-90.1)10/666.332/()2500025200(=-=由α=0.05，查《t 分布表》(附录2表5)得临界值2αt (n －1)= 025.0t (10－1)=2.262。

由于｜t ｜=1.90＜2αt (n －1) = 2.262，所以接受H 0，即认为该厂轮胎的耐用里程不存在显著差异。

10. 解：计算得00128.02=S假设H 0：20σ=0.03，H 1：20σ≠0.03统计量2χ=202/)1(σS n -=(6－1)0.00128/0.03=7.11α=0.1，查《2χ分布表》(附录2表6)得)5(205.0χ=2.015，故应拒绝H 0而接受H 1，即认为总体口径方差存在显著差异。

11. 解：（1）接受 （2）拒绝 （3）接受 （4）拒绝 （5）接受 （6）接受12. 解：（1）拒真错误 （2）没有错误 （3）取伪错误 （4）没有错误 （5）没有错误13. 解：对于甲乙厂放映时间方差的检验，首先建立假设：H 0：2221σσ=，H 1：2221σσ≠在n =5，m =7，α = 0.05时，025.0F (4, 6)=6.23，975.0F (4, 6)=0.161故拒绝域为{F ≤0.161或F ≥6.23}现由样本求得2x S =78.8，2y S =233.33，从而F =0.338，落入拒绝域，因而在α=0.05水平上可以认为两厂放映时间的方差存在显著差别。

对于甲乙厂放映时间均值的检验，首先建立假设：H 0：21μμ=，H 1：21μμ≠计算可得：甲厂：n =5，x =97.4，2x S =78.8；乙厂：m =7，y =100，2y S =233.33；α=0.05由于n 与m 都不大，且2x S 与2y S 又相差很大，故拟采用*t 统计量进行检验。

经计算，对应*t 分布的自由度为L =9.747，取整后为10。

在α=0.05时，)10(05.0t =1.8125，现由样本求得*t =-0.371<)10(05.0t ，故不拒绝H 0，认为甲乙厂放映时间的均值没有显著差别。

14. 解：对于A 、B 蛋白质含量方差的检验，首先建立假设：H 0：2221σσ=，H 1：2221σσ≠在n =10，m =5，α = 0.05时，)4,9(025.0F =8.9，212.0)9,4(1)4,9(025.0975.0==F F 故拒绝域为{F ≤0.212或F ≥8.9}由已知21S =1.621，22S =0.135，从而F =12.007，落入拒绝域，因而在α=0.05水平上可以认为A 、B蛋白质含量的方差存在显著差别。

对于A 、B 蛋白质含量均值的检验，首先建立假设：H 0：21μμ=，H 1：21μμ≠经计算，对应*t 分布的自由度为L =11.528，取整后为12。

在α=0.05时，)12(05.0t =1.782，现由样本求得*t =5.979>)12(05.0t ，故拒绝H 0，认为A 、B 蛋白质含量均值存在显著差别。