概率论的基本概念
1.1 随机试验
1.随机现象在一定条件下具有多个可能的结果，个别几次观察中结果呈现出随机性（不确定性），在大量重复观察中结果又呈现出固有的客观规律性的自然现象称为随机现象.
随机现象的三大特点：
（1）在一定条件下具有多个可能的结果，所有可能的结果已知；
（2）在一次观察中，结果呈现出随机性，不能确定哪一个结果将会出现；
（3）在大量的重复观察（相同条件下的观察）中，结果的出现又呈现出固有的客观规律性.
2.随机试验具有以下几个特点的实验称为随机实验，常用E 来表示
1）可以在相同的条件下重复进行；
2）试验的结果不止一个，并且能事先明确试验所有可能的结果；
3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
注：随机试验即可在相同条件下重复进行的针对随机现象的试验.
1.2 样本空间与随机事件
1. 样本空间与随机事件的概念
1) 样本空间
随机试验E的所有可能结果E的样本空间，记为S.
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点.
样本空间依据样本点数可分为以下三类
（1）有限样本空间：样本空间中样本点数是有限的；
（2）无限可列样本空间：样本空间中具有可列无穷多个样本点；
（3）无限不可列样本空间：样本空间中具有不可列无穷多个样本点.
2) 随机事件一般，称随机试验E的样本空间S的任何一个子集为E的随机事件，简称为事件. 在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.
注：（1）：随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生；
（2）：由一个样本点构成的单点集，称为基本事件；
（3）：样本空间S是必然事件，空集 是不可能事件，它们两个发生与否不具有随机性，为了方便将它们两个也称为随机事件。

2. 事件之间的关系与运算 假设,,,,
1,2,
i i A B A B i =是随机事件，
1) 包含关系 若事件B 发生必然导致事件A 发生，则称事件B 包含于事件A 或事件A 包含事件B ，记作B A ⊂.
若A B ⊂，且B A ⊂，则称事件A 与事件B 相等，记作A B =． 2) 和事件 事件{|}A B x x A x B =∈∈或称为事件A 与事件B 的和
事件，当且仅当事件,A B 中至少有一个发生（或者A 发生或者B 发
生）时事件A
B 发生．
类似地，称1
n i i A =为n 个事件12,,n A A A 的和事件；称
1
i i A ∞=为可列个
事件12,,
,
n A A A 的和事件.
3) 积事件 事件{|}A B x x A x B =∈∈且称为事件A 与事件B 的积
事件，当且仅当事件,A B 同时发生（A 发生且B 发生）时事件A
B 发
生．
类似地，称1
n i i A =为n 个事件12,,n A A A 的积事件；称
1
i i A ∞=为可列个
事件12,,
,
n A A A 的积事件.
4) 差事件 事件{|}A B x x A x B -=∈∉且称为事件A 与事件B 的差事件．当且仅当事件A 发生且事件B 不发生时事件A B -发生.
5) 互斥关系 若A
B φ=，则称事件A 与事件B 是互斥的，或
称为互不相容的．两个互不相容的事件不能同时发生.
6) 对立关系 若A B S =且A B φ=，则称事件A 与事件B 互为
对立事件，或互为逆事件．每次试验中互为对立的两个事件有且仅有一个发生.事件A 的对立事件一般记作A .
图1.1 事件之间关系文氏图
3. 事件的运算律 1) 交换律
;A B B
A A
B B
A ==.
2) 结合律 ()();A B C A B C = ()()A B C A B C =． 3）分配律 ()()()A
B C A B A C =；()()()A B C A B A C =.
4）狄-摩根（De-Morgan ）律 ;A
B A B = A B A B =;
1
1
i i i i A A ∞
∞
===
；
1
1
i i i i A A ∞∞
===
1.3 频率与概率
2. 概率的概念及其性质
1) 概率的统计定义：对于随机试验E ，当试验次数逐渐增大时，频率()n f A 将逐渐稳定与唯一确定的实数：()n f A 的稳定值，所
以将此稳定值定义为随机事件A 的概率，记为()P A .它反映了随机事件A 在一次实验中发生可能性大小.
1.4 等可能概型（古典概型）
1. 古典概型的特点
1）样本空间由有限个样本点构成12{,,
}n S e e e =；
2）每个样本点出现的可能性相等：12()()()1/n P e P e P e n ===.
2. 古典概型中事件A 的概率计算公式
()/P A m n =
其中n 为样本空间中样本点的个数，m 为事件A 中样本点的个数.
1.5 条件概率
1. 条件概率
1) 条件概率的定义：设,A B 是两事件，且()0P A >，则称
()
(|)()
P AB P B A P A =
为事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.
条件概率也满足性质
（1）非负性：对任一事件B ，(|)0P B A ≥； （2）规范性：(|)1P S A =；
（3）可列可加性：设12,,B B 是一列两两互不相容的随机事件，则有
()1
1||i i i i P B A P B A ∞∞
==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑
注：条件概率也满足概率的上述三条基本性质，所以条件概率它也是概率：样本空缩小为事件A 的概率，因而它满足概率的所有性质.
2. 乘法原理 乘法原理：设
,A B
是两个事件，且
()0
P A >，则有
()(|)()P AB P B A P A =；
一般，设12,,
n A A A 是n 个事件，2n ≥，且12
1()0n P A A A ->，则有
12
1
111
2211()(|)(|)
(|)()n n n n n P A A A P A A A P A A A P A A P A ---=
乘法原理是计算积事件的概率的基本公式.
3. 全概率公式与贝叶斯公式
1）样本空间的划分：设随机试验的样本空间是S ，12,,n B B B 为
一组事件，如果满足
（1）,,,1,2,,i j B B i j i j n φ=≠=；
（2）1
2
n B B B S =.
则称12{,,
}n B B B 是样本空间S 的一个划分.
2）全概率公式：设S 是试验E 的样本空间，12{,,}n B B B 是S
的
一个划分，且()0,
1,2,
i P B i n >=，对任一事件A ，则有
1
()(|)()n
i i i P A P A B P B ==∑
3）贝叶斯公式：设S 是试验E 的样本空间，12{,,}n B B B 是S
的
一个划分，A 是一个随机事件，且()0,
1,2,
i P B i n >=，()0P A >，则有
1
(|)()
(|)1,2,
(|)()
i i i n
j
j
j P A B P B P B A i n P A B P B ==
=∑
注：（1）一个复杂的随机事件往往有若干个互不相容的原因导致发生，求这一类随机事件的概率时就要用到全概率公式；而已知事件已经发生，求由某一个原因导致发生的概率时，用贝叶斯公式.
(2) 用全概率公式和贝叶斯公式求事件概率时，样本空间划分的选取是关键.一般划分由导致事件发生的互不相容的所有原因组成，即由题设中给出的或隐含的所有条件概率的条件组成.
1.6 事件的独立性
1. 两个事件的独立性
两个事件独立：设,A B 是两个事件，如果满足等式
()()()P AB P A P B =
则称随机事件A 与B 相互独立.
（1）若,A B 是两个事件，()0P A >，则A 与B 独立等价于
(|)()P B A P B =.
（2） 若事件A 与B 相互独立，则事件A 与B ，A 与B ，A 与B 也
相互独立.
2. 多个事件的独立性
1）两两独立：设,,A B C 是三个事件，若满足
()()()()()()()()()
P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C === 则称事件,,A B C 两两独立.一般，设12,,n A A A 是n 个事件，若对
任意的,1,2,
i j i j n ≠
=，有()()()
i j i j
P A A P AP A =，则称12,,
n A A A 两两独立.
2）相互独立：设,,A B C 是三个事件，若满足
()()()()()()()()()
()()()()
P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C P ABC P A P B P C ====
则称事件,,A B C 相互独立.一般，设12,,n A A A 是n 个事件，从中
任取(2)k k n ≤≤个事件1
2
,,
k i i i A A A ，总有1212(,,
)()()()
k k i i i i i i P A A A P A P A P A =成立，则称12,,n A A A 相互独立.。