第六章 自相关性本章教学要求：本章是违背古典假定情况下线性回归描写的参数估计的又一问题。

通过本章的学习应达到：掌握自相关的基本概念，产生自相关的背景；自相关出现对模型影响的后果；诊断自相关存在的方法和修正自相关的方法。

能够运用本章的知识独立解决模型中的自相关问题。

经过第四、五、六章的学习，要求自行选择一个实际经济问题，建立模型，并判断和解决上述可能存在的问题。

第一节 自相关性的概念一、一个例子研究中国城镇居民消费函数，其中选取了两个变量，城镇家庭商品性支出（现价）和城镇家庭可支配收入（现价），分别记为CSJTZC 和CSJTSR ，时间从1978年到1997年，n=20。

但为了剔除物价的影响，分别对CSJTZC 和CSJTSR 除以物价（用CPI 表示），这里CPI 为城镇居民消费物价指数（以1990年为100%），经过扣除价格因素以后，记CPICSJTSRX CPICSJTZCY ==即如下表回归以后得到的残差为Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/27/04 Time: 09:39Sample: 1978 1997Included observations: 20Std. Error t-Statistic Prob.Variable CoefficientC-103.369278.80739-1.3116690.2061X0.9235510.01603357.603880.00003939.341 R-squared0.994605Mean dependentvarAdjusted R-squared0.994305S.D. dependent var2124.467S.E. of regression160.3247Akaike info criterion13.08692Sum squared resid462671.9Schwarz criterion13.18649Log likelihood -128.8692 F-statistic 3318.207 Durbin-Watson stat1.208037 Prob(F-statistic)0.000000二、什么是自相关性在引出自相关性的概念之前，根据建立中国城镇居民储蓄函数，经用最小二乘法估计出参数后，得到残差序列，由此画出残差图（残差序列自身的关系），从图形上看存在t e 对1 t e 的线性关系，残差的这种现象说明了什么？下面给出序列自相关的定义。

1、如果模型中的随机误差项i u ，满足以下关系式 s t u u Cov s t ≠≠,0),( 则随机误差项i u 之间存在自相关性。

2、一阶线性自相关。

在s t u u Cov s t ≠≠,0),(中，如果1s t =-，则 ,0),(1≠-t t u u Cov并且t u 与1-t u 之间为线性关系，即t t t u u ερ+=-1，其中t ε满足古典假定，即ρεεσεεε,,0)(,)(,0)(22s t E E E s t t t ≠===＜1。

将t u 与1-t u 的这种线性关系称为一阶线性自相关（或一阶线性自回归），简称一阶自相关（或一阶自回归）。

3、一阶线性自回归的数学性质。

设一元线性模型为t t t u X Y ++=21ββ并且，t t t u u ερ+=-1，其中t ε满足ρεεσεεε,,0)(,)(,0)(22s t E E E s t t t ≠===＜1。

设总体一阶序列自相关系数为 )var()var(),cov(11--=t t t t u u u u ρ按照样本相关系数计算公式，样本序列自相关系数为ˆe eρ=另一方面，对一阶线性自回归t t t u u ερ+=-1，求参数ρ的最小二乘估计，即12212ˆnt t t nt t e eeρ-=-='=∑∑在大样本下，有ˆˆρρ'≈。

因此，通常可用ˆρ'表示ρˆ。

t u 的数学特性：（1）0)(=t u E 事实上，.,,,)1(1211r t r t r t t t t t t t u u u u u u -+------+=+=+=ερερερΛ将递推关系逐一代入，并注意当0→r 时，0→-r t r u ρ，则∑∞=------------=++++===+++=++=++=+=0332211232122121)()(r rt r t t t t t t t t t t t t t t t t t u u u u u ερερερρεεερεερρερερεερρερΛΛ0()()()()0,(()0)rrr t t r t r t r t r r r E u E E E E ρερερεε∞∞∞---========∑∑∑（2）2221)var(σρσε=-=t u[]2222221112222211222()()()()(2)()()()(()0)()1t t t t t t t t t t t t t t t t Var u E u E u E u E u E u u E u E Var u E u Var u εερερρεερερσεσσρ-----=-==+=++=+=+===-在t ε满足22()0,(),()0,,t t t s E E E t s εεεσεε===≠t ε服从正态分布，且ρ＜1。

有23123231232222322223()()()()()()(1)1t t t t t t t t t Var u Var Var Var Var Var εεεεεεερερερεερερερεσρσρσρσσσρρρρ------=++++=++++=++++=++++=-L L LL LL L（3）2),cov(σρs s t t u u =-按照协方差的定义，可类似推出上述结果。

三、自相关产生的原因1、经济变量大多存在惯性的作用。

如经济变量随时间运动往往存在趋势的作用，使得变量在变化中具有惯性特征。

2、许多经济变量具有滞后性的表现。

3、一些随机偶然因素的干扰或影响。

4、设定偏倚。

与异方差性情况类似。

5、蛛网现象模型。

这是农产品与农产品价格所固有的一种关系，即当期农产品的产出量与前期的农产品价格有关，用公式表示为)(1-=t s t p f Q 6、时间序列更易产生自相关性。

第二节 自相关性的后果从统计意义上讲，并参考异方差性的情况，自相关性对模型的影响主要有以下几方面。

一、在自相关存在的前提下，参数估计的统计特性 1、参数估计仍是无偏的。

设线性回归模型为t t t u X Y ++=21ββ其样本回归函数中参数的最小二乘估计分别为21ˆ,ˆββ，有 11)ˆ(ββ=E 22)ˆ(ββ=E其证明可参见在第五章中异方差存在的条件下，参数估计仍是无偏的。

2、参数估计不再具有方差最小性。

在自相关下，由第五章异方差对参数估计影响的说明，有[]()∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=+=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=-=≠=≠=≠222222222222222222222222222*2)ˆ()()(2)()(2)()(2ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(iiji j i j i i i j i ji j i j i i i i j i j i j i j i i i i i i i i i xVar x u u E x x x x u u E x x u E x x u u x x u x E x u x E x u x E E E E Var σβσβββββββ在无自相关下，有比较上述两式，可以很明显看到，如果随机误差序列存在正的自相关，则)ˆ(*2βVar >)ˆ(2βVar 。

三、2ˆσ严重低估了2σ。

四、参数的显著性检验失效。

五、预测精度降低。

需要注意的问题，比较多重共线性与异方差、自相关在预测应用中有不同的情况。

如果模型中存在多重共线性，但变量符合经济意义，并且线性结构保持不变，则这个时候可以利用模型进行预测；如果模型中存在的是异方差和自相关问题，则不能利用模型进行预测（为什么？）。

第三节 自相关的检验一、图示法。

1、利用t e 对1-t e 的散点图进行判断。

（1）当散点大部分落在一、三象限时，则表明随机误差存在正自相关。

（2）当散点大部分落在二、四象限时，则表明随机误差存在负自相关。

2、利用t e 对时间t 的折线图进行判断。

（1）当t e 随t 逐次而变动时，t e 开始为正，随后几个也为正；t e 出现负值，随后几个也出现负值，则随机误差存在正自相关。

（2）当t e 随t 逐次而变动时，t e 不断地改变符号，则随机误差存在负自相关。

二、D-W 检验法该方法为Durbin J 和Watson G S （1951）基于残差序列t e 与1-t e 之间的相关系数ρˆ提出检验ρ的D-W 统计量。

1、D-W 检验的适用条件。

（1） 解释变量非随机。

（2）t u ~t t t u u ερ+=-1，且t ε满足基本假定。

（3）线性回归模型不存在如下形式 t t t t u Y X Y +++=-1321βββ如果出现这种情况，应用Durbin-H 检验，将在第七章介绍。

2、D-W 统计量的构成。

（1）提出假设：0:;0:10≠=ρρH H（2）构造D-W 检验统计量，记为d ，即∑∑--=-≈211ˆ),ˆ1(2t t t eee d ρρ其中。

推导过程见教科书。

3、运用D-W 检验判断一阶自相关的区域。

（1）当0ˆ=ρ时，d=2，则t u 无一阶自相关。

（2）当1ˆ=ρ时，d=0，则t u 有完全一阶正自相关。

（3）当1ˆ-=ρ时，d=4，则t u 有完全一阶负自相关。

（4）通常情况下，当ρˆ＜1时，有0＜d ＜4。

当d 落在0到4范围内时，有如下判断区域：当0＜d ＜d L 时，存在一阶正自相关； 当d L ＜d ＜d U 时，不能判定存在自相关； 当d U ＜d ＜4-d U 时，不存在一阶自相关； 当4-d U ＜d ＜4-d L 时，不能判定存在自相关； 当4-d L ＜d ＜4时，存在一阶负自相关。

4、运用D-W 检验应注意的问题。

（1）由教科书上的图形可知，在d=2的附近，有一个较大的无自相关区域，所以通常当d 在2的左右时，可以不用查表就判断出随机误差不存在自相关。

（2）D-W 检验存在不能判定区域，这时可以用扩大样本容量或改用其它检验方法（如D-W 检验的修正方法，参见教材第167页）。

（3）要求样本容量至少为15，否则很难对自相关的存在作出准确判断。