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中考数学锐角三角函数综合经典题附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由(3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为62或23.【解析】【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE;(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,∵△EFK是直角三角形,∴OF=12EK=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,∵|CF﹣AE|=2,3AE=CK,∴FK=2,在Rt△EFK中,tan∠3∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,∴EK=2FK=4,OF=12EK=2,∵△OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2,在Rt△PHF中,PH=12PF=1,3OH=23∴()2212362+-=如图4中,点P 在线段OC 上,当PO=PF 时,∠POF=∠PFO=30°,∴∠BOP=90°,∴OP=33OE=233, 综上所述:OP 的长为62 或233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.2.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB ,以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ,点P 在AB 的延长线上,且∠CAB=2∠BCP .(1)求证:直线CP 是⊙O 的切线.(2)若BC=2,sin ∠BCP=,求点B 到AC 的距离.(3)在第(2)的条件下,求△ACP 的周长.【答案】(1)证明见解析(2)4(3)20【解析】试题分析:(1)利用直径所对的圆周角为直角,2∠CAN=∠CAB ,∠CAB=2∠BCP 判断出∠ACP=90°即可;(2)利用锐角三角函数,即勾股定理即可.试题解析:(1)∵∠ABC=∠ACB ,∴AB=AC ,∵AC 为⊙O 的直径,∴∠ANC=90°,∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB,∵∠CAB=2∠BCP,∴∠BCP=∠CAN,∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°,∵点D在⊙O上,∴直线CP是⊙O的切线;(2)如图,作BF⊥AC∵AB=AC,∠ANC=90°,∴CN=CB=,∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP=,∴sin∠CAN=,∴∴AC=5,∴AB=AC=5,设AF=x,则CF=5﹣x,在Rt△ABF中,BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2,在Rt△CBF中,BF2=BC2﹣CF2=2O﹣(5﹣x)2,∴25﹣x2=2O﹣(5﹣x)2,∴x=3,∴BF2=25﹣32=16,∴BF=4,即点B到AC的距离为4.考点:切线的判定3.在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于点H,连接AH、PH.(1)若点P在线CD上,如图1,①依题意补全图1;②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线CD的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)【答案】(1)①如图;②AH=PH,AH⊥PH.证明见解析(2)或【解析】试题分析:(1)①如图(1);②(1)法一:轴对称作法,判断:AH=PH,AH⊥PH.连接CH,根据正方形的每条对角线平分一组对角得:△DHQ等腰Rt△,根据平移的性质得DP=CQ,证得△HDP≌△△HQC,全等三角形的对应边相等得PH=CH,等边对等角得∠HPC=∠HCP,再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.(2)轴对称作法同(1)作HR⊥PC于R,∵∠AHQ=152°,∴∠AHB=62°,∴∠DAH=17°∴∠DCH=17°.设DP=x,则.由代入HR,CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法,A、H、D、P共向,∴∠APD=∠AHB=62°,∴.试题解析:(1)①法一:轴对称作法,判断:AH=PH,AH⊥PH证:连接CH,得:△DHQ等腰Rt△,又∵DP=CQ,∴△HDP≌△△HQC,∴PH=CH,∠HPC=∠HCPBD为正方形ABCD对称轴,∴AH=CH,∠DAH=∠HCP,∴AH=PH,∠DAH=∠HPC,∴∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.法二:四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.(2)法一:轴对称作法考虑△DHQ 等腰Rt △,PD =CQ ,作HR ⊥PC 于R ,∵∠AHQ =152°,∴∠AHB =62°,∴∠DAH =17°∴∠DCH =17°.设DP =x ,则. 由得:,∴.即PD=法二:四点共向作法,A 、H 、D 、P 共向,∴∠APD =∠AHB =62°,∴.考点:全等三角形的判定;解直角三角形;正方形的性质;死电脑共圆4.如图①,抛物线y =ax 2+bx+c 经过点A (﹣2,0)、B (4,0)、C (0,3)三点.(1)试求抛物线的解析式;(2)点P 是y 轴上的一个动点,连接PA ,试求5PA+4PC 的最小值;(3)如图②,若直线l 经过点T (﹣4,0),Q 为直线l 上的动点,当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时,试求直线l 的解析式.【答案】(1)233384y x x =-++;(2)5PA+4PC 的最小值为18;(3)直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--. 【解析】【分析】(1)设出交点式,代入C 点计算即可 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ,易证△CDP ∽△COB ,得到比例式PC PD BC OB =,得到PD=45PC ,所以5PA+4PC =5(PA+45PC )=5(PA+PD ),当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小,利用等面积法求出AE=185,即最小值为18 (3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90°,即∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q ,∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个;此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ,利用cos ∠QFT 求出QG ,分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时,分别代入直接l 得到解析式即可【详解】解:(1)∵抛物线与x 轴交点为A (﹣2,0)、B (4,0)∴y =a (x+2)(x ﹣4)把点C (0,3)代入得:﹣8a =3∴a =﹣38∴抛物线解析式为y =﹣38(x+2)(x ﹣4)=﹣38x 2+34x+3 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D∴∠CDP =∠COB =90°∵∠DCP =∠OCB∴△CDP ∽△COB ∴PC PD BC OB= ∵B (4,0),C (0,3)∴OB =4,OC =3,BC∴PD =45PC ∴5PA+4PC =5(PA+45PC )=5(PA+PD ) ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小∵A (﹣2,0),OC ⊥AB ,AE ⊥BC∴S △ABC =12AB•OC =12BC•AE ∴AE =631855AB OC BC ⨯== ∴5AE =18∴5PA+4PC 的最小值为18.(3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90° ∴∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q∵当Q 在⊙F 上运动时(不与A 、B 重合),∠AQB =90°∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∴∠FQT =90°∵F 为A (﹣2,0)、B (4,0)的中点∴F (1,0),FQ =FA =3∵T (﹣4,0)∴TF =5,cos ∠QFT =35FQ TF = ∵Rt △FGQ 中,cos ∠QFT =35FG FQ = ∴FG =35FQ =95∴x Q =1﹣9455=-,QG =2222912FQ 355FG ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭①若点Q 在x 轴上方,则Q (41255-,)设直线l 解析式为:y =kx+b ∴4041255k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得:343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线l :334y x =+ ②若点Q 在x 轴下方,则Q (41255--,) ∴直线l :334y x =-- 综上所述,直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--【点睛】本题是二次函数与圆的综合题,同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点,综合度比较高,需要很强的综合能力,第三问能够找到满足条件的Q 点是关键,同时不要忘记需要分情况讨论5. 兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩,南至七里河马滩,是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图,小明站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是31°,拉索AB 的长为152米,主塔处桥面距地面7.9米(CD 的长),试求出主塔BD 的高.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)【答案】主塔BD 的高约为86.9米.【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC 相应长度,再由BD=BC+CD 可得出.【详解】在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,sin BC A AB=. ∴sin 152sin311520.5279.04BC AB A ︒=⨯=⨯=⨯=.79.047.986.9486.9BD BC CD=+=+=≈(米)答:主塔BD的高约为86.9米.【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合,熟悉掌握是解决本题的关键.6.如图,在▱ABCD中,AC与BD交于点O,AC⊥BC于点C,将△ABC沿AC翻折得到△AEC,连接DE.(1)求证:四边形ACED是矩形;(2)若AC=4,BC=3,求sin∠ABD的值.【答案】(1)证明见解析(2)613【解析】【分析】(1)根据▱ABCD中,AC⊥BC,而△ABC≌△AEC,不难证明;(2)依据已知条件,在△ABD或△AOC作垂线AF或OF,求出相应边的长度,即可求出∠ABD的正弦值.【详解】(1)证明:∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC,∴BC=CE,AC⊥CE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴AD=CE,AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形,∵AC⊥CE,∴四边形ACED是矩形.(2)解:方法一、如图1所示,过点A作AF⊥BD于点F,∵BE=2BC=2×3=6,DE=AC=4,∴在Rt△BDE中,2222BD BE DE64213=+=+=∵S△BDE=12×DE•AD=12AF•BD,∴AF613213=,∵Rt△ABC中,AB2234+5,∴Rt △ABF 中,sin ∠ABF =sin ∠ABD =6136135AF AB ==方法二、如图2所示,过点O 作OF ⊥AB 于点F ,同理可得,OB =1132BD =, ∵S △AOB =11OF AB OA BC 22⋅=⋅, ∴OF =23655⨯=, ∵在Rt △BOF 中,sin ∠FBO =0613513F OB ==, ∴sin ∠ABD =613.【点睛】本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质,矩形的判定和性质,平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度,关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin ∠ABD .7.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的边AB 在x 轴上,点B 坐标(﹣6,0),点C 在y 轴正半轴上,且cos B =35,动点P 从点C 出发,以每秒一个单位长度的速度向D 点移动(P 点到达D 点时停止运动),移动时间为t 秒,过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q .(1)求点D 坐标;(2)求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式,并求出S 的最大值;(3)在直线l 移动过程中,是否存在t 值,使S=320ABCDS 菱形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)点D 的坐标为(10,8).(2)S 关于t 的函数关系式为S =24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩,S 的最大值为503.(3)3或7. 【解析】【分析】(1)在Rt △BOC 中,求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标;(2)分两种情况分析:①当0≤t ≤4时和②当4<t ≤10时,根据面积公式列出解析式,再求函数的最值;(3)分两种情况分析:当0≤t ≤4时,4t =12,;当4<t ≤10时,22201233t t -+= 【详解】解:(1)在Rt △BOC 中,∠BOC =90°,OB =6,cos B =35, 10cos OB BC B∴== 228OC BC OB ∴=-=∵四边形ABCD 为菱形,CD ∥x 轴,∴点D 的坐标为(10,8).(2)∵AB =BC =10,点B 的坐标为(﹣6,0),∴点A 的坐标为(4,0).分两种情况考虑,如图1所示.①当0≤t ≤4时,PQ =OC =8,OQ =t ,∴S =12PQ •OQ =4t , ∵4>0,∴当t =4时,S 取得最大值,最大值为16;②当4<t ≤10时,设直线AD 的解析式为y =kx +b (k ≠0),将A (4,0),D (10,8)代入y =kx +b ,得:4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩,解得:4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴直线AD 的解析式为41633y x =-. 当x =t 时,41633y t =-, 41648(10)333PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭ 21220233S PQ OP t t ∴=⋅=-+ 22202502(5),033333S t t t =-+=--+-<∴当t =5时,S 取得最大值,最大值为503. 综上所述:S 关于t 的函数关系式为S =24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩,S 的最大值为503. (3)S 菱形ABCD =AB •OC =80.当0≤t ≤4时,4t =12,解得:t =3;当4<t ≤10时,222033t t -+=12, 解得:t 1=5﹣7(舍去),t 2=5+ 7. 综上所述:在直线l 移动过程中,存在t 值,使S =320ABCD S 菱形,t 的值为3或5+7.【点睛】考核知识点:一次函数和二次函数的最值问题.数形结合,分类讨论是关键.8.如图,在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ,点B 到航线l 的距离BD 为4km ,点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处.现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处,沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处.求这艘轮船的航行路程CE 的长度.(结果精确到0.1km )(参考数据:3≈1.73,sin74°≈0.96,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49)【答案】20.9km【解析】分析:根据题意,构造直角三角和相似三角形的数学模型,利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解:如图,在Rt △BDF 中,∵∠DBF=60°,BD=4km ,∴BF=cos 60BD =8km , ∵AB=20km ,∴AF=12km , ∵∠AEB=∠BDF ,∠AFE=∠BFD ,∴△AEF ∽△BDF ,∴AE BD AF BF, ∴AE=6km , 在Rt △AEF 中,CE=AE•tan74°≈20.9km . 故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km .点睛:本题考查相似三角形,掌握相似三角形的概念,会根据条件判断两个三角形相似.9.在等腰△ABC 中,∠B=90°,AM 是△ABC 的角平分线,过点M 作MN ⊥AC 于点N ,∠EMF=135°.将∠EMF 绕点M 旋转,使∠EMF 的两边交直线AB 于点E ,交直线AC 于点F ,请解答下列问题:(1)当∠EMF 绕点M 旋转到如图①的位置时,求证:BE+CF=BM ;(2)当∠EMF 绕点M 旋转到如图②,图③的位置时,请分别写出线段BE ,CF ,BM 之间的数量关系,不需要证明;(3)在(1)和(2)的条件下,tan ∠BEM=,AN=+1,则BM= ,CF= .【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)1,1+或1﹣【解析】【分析】(1)由等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,可得BM=MN,∠BMN=135°,又∠EMF=135°,可证明的△BME≌△NMF,可得BE=NF,NC=NM=BM进而得出结论;(2)①如图②时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得BE﹣CF=BM,②如图③时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得CF﹣BE=BM;(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中,,可得Rt△ABM≌Rt△ANM,后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长,结合(1)(2)的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.【详解】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠C=45°,∵AM是∠BAC的平分线,MN⊥AC,∴BM=MN,在四边形ABMN中,∠,BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°,∵∠ENF=135°,,∴∠BME=∠NMF,∴△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵CN=CF+NF,∴BE+CF=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵NC=NF﹣CF,∴BE﹣CF=BM;针对图3,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵NC=CF﹣NF,∴CF﹣BE=BM;(3)在Rt△ABM和Rt△ANM中,,∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL),∴AB=AN=+1,在Rt△ABC中,AC=AB=+1,∴AC=AB=2+,∴CN=AC﹣AN=2+﹣(+1)=1,在Rt△CMN中,CM=CN=,∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1,在Rt△BME中,tan∠BEM===,∴BE=,∴①由(1)知,如图1,BE+CF=BM,∴CF=BM﹣BE=1﹣②由(2)知,如图2,由tan∠BEM=,∴此种情况不成立;③由(2)知,如图3,CF﹣BE=BM,∴CF=BM+BE=1+,故答案为1,1+或1﹣.【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合,难度较大,需综合运用所学知识求解.10.我市在创建全国文明城市的过程中,某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅,在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°,若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米,求条幅AE的长度.(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+【解析】【分析】在Rt ACF 中求AF 的长, 在Rt CEF 中求EF 的长,即可求解.【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F由题知:四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF 中,45ACF ∠=︒tan 1AF ACF CF∴∠== 12AF ∴=在Rt CEF 中,30ECF ∠=︒tan EF ECF CF∴∠= 3123EF ∴= 43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.。

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