第三章答案3-2、试用阶跃函数表示如下的图形。

答案：()()()()315324f t t t t εεε=---+-3-6、求解方程1142du u t dt +=+,()00u =。

解：齐次方程为104duu dt+=特征方程：1104λ+=特征根：4λ=-则该方程的齐次解为4()th u t Ae-=注意，此时不要去解A ，留待特解求得后再去解决。

激励函数为12t +，因此特解为 01 ()p u t Q Q t =+代入原微分方程,求得 011,14Q Q ==所以特解为1()4p u t t =+完全解为41()()()4th p u t u t u t Aet -=+=++ 代入初始条件 (0)0u =1(0)04u A =+=求得14A =-所以有 411()44t u t e t -=-++ 3-7、下图所示电路系统，以电容上电压()C u t 为响应列写其微分方程。

解：由于 （课本例3-9）:()()():()()()()1:()()()()()C S L C R tL C C R KCL i t i t i t KVL u t u t u t di t VCR u t Lu t i d u t Ri t dtC ττ-∞=-=-===⎰联合以上各式，有()()()C di t L u t Ri t dt=- （3-4）因为 ()()()C S du t i t i t C dt =-把上式代入（3-4），整理得到：''''11()()()()()CC C S S R R u t u t u t i t i t L LC C LC++=+ （3-7）上式表明，系统的微分方程不但含有输入信号()S i t ，而且还含有()S i t 的导数。

3-8、如图？所示LC 振荡电路，116L H =,4C F =,()()01,01c L u V i A ==,求零输入响应()c u t ， ()L i t 。

()L t答案：()1cos 2sin 28c u t t t =-。

()()8sin 2cos 2c L du t i t C t t dt==-3-9、设某二阶系统的方程为()()()22220d dy t y t y t dt dt++= 其对应的0+状态条件为()()'01,02y y ++==，求系统的零输入响应。

答案：()()()cos 3sin t y t e t t t ε-=+11、电路如图所示，500,1,1R C F L H μ=Ω==,()()s i t t A ε=，当系统0t=时，把开关K 拉开，试求的阶跃响应()()(),,Lc c i t u t i t 。

(s i L u L答案：()()()()()()()()()()333310610310111010110tL L tc c tc i t t e t A di t u t L te t Vdtdu t i t C t e t Adtεεε---⎡⎤=-+⎣⎦====-14、化简函数22[sin()()]4d t t dt +πε解：22[sin()()][cos()()sin()()]444d d t t t t t t dt dt +=+++πππεεδ ()[cos()sin()()]44sin()'()cos()()sin()()444'()()sin()()224d t t t dt t t t t t t t t t =++=++-+=+-+ππεδπππδδεπδδε第4章 习题解答4-1、将图所示的信号展成三角形式傅立叶级数。

（a ） （b ） 4-2、求图所示周期矩形脉冲信号复指数形式的傅立叶级数n F 。

解：直接代入公式有1122-j -j 2211111()ed ed sin 2=Sa 22T n tn tn T F f t t A tTTn n A A n TT τωωτωτωτττωτ--==⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⎪⎝⎭⎰⎰3、求双边指数信号()e ,0a tf t a -=>的傅里叶变换。

（课堂讲过）解：0-j -j -j -j 0()()e d ee d e e d e e d a tt t at t at t F f t t t t t ωωωωω∞∞∞---∞-∞-∞===+⎰⎰⎰⎰(-j )(j )220112 ed ed =j j a ta tat t a a a ωωωωω∞-+-∞=+=+-++⎰⎰幅度谱 222()aF a ωω=+相位谱 ()0ϕω=4、求三角形脉冲信号的频谱()F ω，并画出()F ω的波形。

解：三角形脉冲信号(1) ()0 tA t f t t τττ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩傅立叶变换为-j -j -j 0()()e d (1)e d (1)e d ttt ttF f t t A t A tτωωωτωττ∞-∞-==++-⎰⎰⎰令t x =- 得-j j j j 0(1)ed (1)e d (1)e d (1)e d tx xttxA t A xxtA x A tωωττττωωττττ-+=--=-=-⎰⎰⎰⎰所以j -j j -j 0202222()(1)e d (1)ed (1)(e e )d 1111 2(1)cos td 2[sin (cos sin )]2A4A=(1cos )sin ()Sa ()22ttt t tttF A t A t A tt A t A t t t t A τττωωωωττωτττωωωωτωτωωωτωτωττωτωτ=-+-=-+=-=-+-==⎰⎰⎰⎰τπ2τπ2-τπ45、已知周期性冲激信号串()()T n t t nT δδ∞=-∞=-∑，T 为周期，且12T πω=。

试求其傅里叶变换()Fω，并画出其频谱图。

解 ： 复系数()12211Tjn tT n T F t e dt T T -ω-=δ=⎰从而傅立叶级数展开式为 ()11jn tTn t e T ∞ω=-∞δ=∑进一步可得()T t δ的傅立叶变换为()()()()111122n n n n F F n n n T ∞∞∞=-∞=-∞=-∞πω=πδω-ω=δω-ω=ωδω-ω∑∑∑上式表明：冲激序列的频谱为离散的冲激串，各分量的强度为2Tπ。

4-7、求图所示三脉冲信号的频谱。

2τ2τ-解：令()0f t 表示,22ττ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦矩形单脉冲信号，其频谱函数为()0F ω，则0()Sa 2F E ωτωτ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭因为000()()()()f t f t f t T f t T =+++-由时移性质可知()[]j j 0()()1ee12cos()2TTF F E T ωωωτωωτω-⎛⎫=++=⋅+ ⎪⎝⎭Sa4-8、求矩形调幅信号()()0cos f t g t t ω=的频谱函数()F ω，其中()g t 为矩形脉冲，幅值为E , 脉宽为τ。

2τ2τ-解：因为()g t 的频谱为()Sa()2G E ωτωτ=所以 001(){[()][()]}2F G G ωωωωω=++-00{Sa[()]Sa[()]}222E τττωωωω=++-4-9、已知信号()f t 的频谱为()F ω，利用傅里叶变换性质求下列信号的傅里叶变换（1）()2tf t （2）()()2t f t -- （3）()df t t dt（4）()13f t - 解：4-10、 如图所示梯形脉冲信号，试求其频谱函数()F ω。

解 为了方便，可先将()f t 求导两次。

由微分特性，应有()()()2''f t j F ↔ωω由于()()()()()''Af t t b t b t a t a b a=δ++δ--δ+-δ-⎡⎤⎣⎦-由时移（延时）性质，得()()()()()1''()22cos 2cos cos cos jb jb ja ja Af t F e e e e b a A A b a b a b a b aω-ωω-ω⎡⎤↔ω=+-+⎣⎦-=ω-ω=ω-ω--由积分性质，得f (t )的频谱()()()()22112cos cos cos cos A AF b a b a b a j j a b ω=ω-ω⋅⋅=ω-ω-ωω-ω4-11、设有函数()f t 如图所示，试求其频谱函数。

解 先将f (t )分解为()()12f t f t +，再将()2f t 求导，则ℱ ()()222'2j f t Sa e F ω-ω⎛⎫==ω⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭且 ()201F =所以由积分定理，得 ℱ()()2212j f t Sa e j ω-ω⎛⎫=πδω+⎡⎤ ⎪⎣⎦ω⎝⎭又因为 ()()12f t ↔πδω再由线性，得ℱ ()()2132j f t Sa e j ω-ω⎛⎫=πδω+⎡⎤ ⎪⎣⎦ω⎝⎭12、已知一个零状态L TI 系统由下列微分方程表征()32321085() =137()df t d y d y dyy t f t dt dt dt dt++++试求该系统的频率响应()Hω。

解：对上式两边取傅立叶变换，得32[()10()8()5]()[13()7]()j j j Y j X ωωωωωω+++=+所以系统的频率响应为3232()137137()()()10()851085Y j j H X j j j j j ωωωωωωωωωωω++===+++--++ 13、求图示电路的频率响应函数()H ω+-()2u t解：由频域等效模型得：+-()2U ωj Lω+-()2U ωj Lω14、求下列微分方程的解()x t 。

（1）()()()'x t x t t δ+=解：（1）设 =)(ωX ℱ [])(t x对上述方程两端取傅立叶变换，得()1()()1()1j X X X j ωωωωω+=∴=+对上式的傅立叶逆变换为()()tx t e t ε-= 15、已知电路如下图所示，求该电路的频率响应()H ω ，若使该系统为无失真传输系统，元件参数应满足何条件？+u (t ) -+y () -1L 2L 2R 1R解：系统频率响应为()()1222221112212121211222112() R j R L j R j L R L H j R L j R L R R L L R R j R j L R j L L L R R ωωωωωωωωω++==⋅+++++++所以，系统无失真的条件为()()1212112112R R L L R L L L R R +=+即1221 R L R L =此时有221212() L R H L L R R ω==++第5章 习题及解答5-1试求下列函数的拉氏变换 解：（1） 由于()313t e t s -ε↔+ ()22sin 24t t s ⋅ε↔+由线性，得()f t 的象函数()()()222122103434s s Fs s s s s ++=+=++++（2）ππ()cos sincos sin 44f t t t t t =-=- 所以 22211()111s s F s s s s -=-=+++ 补充的作业： 先对()f t 求导，则'()()2(1)2(3)(4)ft t t t tεεεε=--+---对应的变换：()()3411122s s s F s e e e s---=-+-所以 342122()s s se e e F s s ----+-= （积分性质）5-6求下列函数()F s 的象函数()f t 。