| Ax0 + By0 + C |
A2 + B 2
5.两平行线 l1 : Ax + By + C1 = 0, l2 : Ax + By + C2 = 0 之间的距离公式： d =
| C1 − C2 |
A2 + B 2
3
离为 3，求 P 到另一个焦点的距离；
3，求 P 到另一个焦点的距离；
8.中点弦问题 8. (1) 如果椭圆 (2) 已知椭圆 (3) 已知椭圆
x2 y 2 + = 1 的弦被点(4,2)平分，求这条弦所在的直线方程及该弦的弦长； 36 9
x2 + y 2 = 1 ，斜率为 2 的动直线与椭圆交于不同的两点 A、 ，求线段 AB 中点的轨迹方程； B 3
四、必须熟记的常用公式
1.弦长公式： AB = 1 + k 1.
2
x1 − x2 = (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 ]
AB = 1 +
1 y1 − y2 = (1 + k 2 )[( y1 + y2 ) 2 − 4 y1 y2 ] 2 k
y2 − y1 ( x2 ≠ x1 ) x2 − x1
x2 y 2 x2 y 2 + = 1 有相同焦点 求过点 (3 2, 2) 且与双曲线 − = 1 有相同 9 4 16 4
的椭圆的方程； 7.椭圆（双曲线）定义应用 7. 椭圆
焦点的双曲线的方程；
x2 y 2 x2 y 2 + = 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 双曲线 − = 1 上一点 P 到双曲线一个焦点的距 9 4 16 9
椭圆、双曲线对比及经典结论 椭圆、双曲线对比及经典结论 对比及
（因文件太大无法上传，所以分成三个文件） 因文件太大无法上传，所以分成三个文件）
三、椭圆、双曲线基本题型 椭圆、 1.求标准方程 1. (1) 已 知 椭 圆 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 (1) 已 知 双 曲 线 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是
9 x2 y 2 − =1 16 4
(2) 8 x 2 + 3 y 2 = 24 (3) m 2 x 2 + 4m2 y 2 = 1 (m > 0) 3.求满足条件的轨迹方程 3.
(2) 16 x 2 − 9 y 2 = 144 (3) x2 y 2 − =1 4 m
(1)已知两点 B(−6, 0), C (6, 0) ，设点 A 与 B,C 的 (1)点 P 与两个定点 B (−6, 0), C (6, 0) 的连线的斜
x2 y2 x2 y2 + 2 = 1 的焦距为 2c ，直线 y = 2 x 与 (3)双曲线 2 − 2 = 1 的焦距为 2c ，直线 l 经过点 a2 b a b (a, 0), (0, b) ，原点到该直线的距离是
椭圆的一个焦点的横坐标为 c ，求它的离心率；
3c ，求它的 4
离心率； 6.共焦点椭圆（双曲线）方程 6. 求过点 (3, −2) 且与椭圆
2.两点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 确定直线斜率公式： k =
3. 直线的点斜式方程（已知点 P ( x0 , y0 ) 和斜率 k ） y − y0 = k ( x − x0 ) (k 存在) ： 4. 点到直线 Ax + By + C = 0 的距离公式： d =
10. 10.椭圆与双曲线综合 (1) 求与椭圆 x2 y 2 + = 1 有相同的焦点，且过点 (2, 2 3) 的双曲线的标准方程； 10 5
x2 y 2 x2 y 2 (2)椭圆 + = 1 与双曲线 − = 1 (a > 0, b > 0) 有相通的焦点 F1 , F2 ，点 P 是两曲线的一个 m n a b 交点，求 | PF1 | ⋅ | PF2 | 的值（用 m, n, a, b 表示） ； (3)双曲线与椭圆有共同的焦点 F1 (0, −5), F2 (0, 5) ，点 P (3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交 点，求双曲线与椭圆的方程；
(−3, 0), (30) ，双曲线上一点 P 与两焦点的距离
和等于 8，求椭圆的标准方程； 的差的绝对值等于 8，求双曲线的标准方程； (2) 已 知 椭 圆 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 (2) 已 知 双 曲 线 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是
(3)求过点 P (3, 0) 且与圆 ( x + 3)2 + y 2 = 100 相内 (3) 求过点 P (3, 0) 且与圆 ( x + 3)2 + y 2 = 16 相外 切的动圆圆心的轨迹方程；
1
切的动圆圆心的轨迹方程；
4.求参数值（范围） 4. (1) 已 知 方 程 (3m + 7) x 2 + (3m + 4) y 2 = 5m + 12 表示的曲线是椭圆，求实数 m 的取值范围； (2) 已知椭圆 kx 2 + 5 y 2 = 5 的一个焦点坐标为
(2, 0) ，求实数 k 的值；
(1) 已知方程
x2 y2 + = 1 表示的曲线是 m2 − 1 m − 2
双曲线，求实数 m 的取值范围； (2) 已知双曲线 8kx 2 − ky 2 = 8 的一个焦点坐标 为 (0, 3) ，求实数 k 的值；
5.求离心率 5. (1)如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数 (1)双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，求该双 列，求该椭圆的离心率； 曲线的离心率； (2) 中心在原点对称轴为坐标轴的双曲线的一 (2) 若椭圆的一个焦点分长轴为 3 : 2 的两段， 条渐近线方程为 x − 2 y = 0 ，求它的离心率； 求该椭圆的离心率； (3) 椭圆
(0, −4), (0, 4) ，并且椭圆经过点 A( 3, − 5) ，求
(0, −6), (0, 6) ，且双曲线经过点 A(−5, 6) ，求双
椭圆的标准方程； 曲线的标准方程； (3)长轴长和短轴长分别为 8 和 6，焦点在 x 轴 (3) 实轴长和虚轴长分别为 8 和 6， 焦点在 x 轴 上，求椭圆的标准方程； 上，求双曲线的标准方程； 9 (4) 焦距为 6 ，离心率等于 ，求双曲线的标 15 (4)距为 2 15 ，离心率等于 ，求椭圆的标 4 4 准方程； 准方程； (5) 离心率等于 e = 5 ，过点 P(4, 4 3) ，求双 1 (5) 离心率等于 e = ，过点 P (4, 4 3) ，求椭圆 曲线的标准方程； 3 的标准方程； 15 (6)求经过点 ( 2, 3), ( , − 2) 的双曲线的 (6)求经过点 ( 3, −2), (−2 3,1) 的椭圆的标准方 3 程； 标准方程； 2.求椭圆（双曲线）的长（实）轴长、短（虚）轴长、交点坐标、顶点坐标、离心率（渐近线） 2. (1) x2 y2 + =1 36 24 (1)
x2 y2 + =1 内一点 A(1,1) ，则过点 A 的弦的中点的轨迹方程 16 4
9.双曲线渐近线问题 (1)求双曲线 3 x 2 − y 2 = 3 的渐近线方程； (2)双曲线的渐近线方程为 x ± 2 y = 0 ，焦距为 10，求该双曲线的方程；
2
(3)求渐近线方程为 y = ±2 x ，且焦点在 x 2 + y 2 = 5 上的双曲线的标准方程； (4)求与双曲线 x2 y 2 − = 1 有共同的渐近线，且过点 (2 3, 4 2) 的双曲线的标准方程； 9 16
4 4 连线 AB，AC 的斜率分别为 k1 , k2 且 k1 ⋅ k2 = − ， 率的分别为 k1 , k2 且 k1 ⋅ k2 = ，求点 P 所在曲线 9 9 求点 A 所在曲线的方程； 的方程； (2)在相距 1400m 的两观察站 A,B，在 A 站听到 (2)已知 ABC 的两顶点为 B (−2, 0), C (2, 0) ，它 炮弹爆炸声的时间比在 B 站听到时早 4s，已知 的周长为 10，求点 A 的轨迹方程； 音速为 340m/s， 求炮弹爆炸点所在直线的方程；