t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
4 an = T1
4 bn = T1
∫ f (t )cos(nω t )dt
1
T1 2 0
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
（ n 为奇数）
在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而 不会包含偶次谐波项。 六、周期信号的平均功率 1、周期信号平均功率的定义 为了方便，研究周期信号在 1 电阻上消耗的平均功率。称为归一化平均功 率。如果周期信号是实函数，无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率定义 为
P= f
2
(t ) =
1 T1
∫
T1
0
f
2
(t )dt
2、帕塞瓦尔定理
P= f
2
(t ) =
1 T1
∫
T1
0
f
2
(t )dt = a02 + 1 ∑ (a n2 + bn2 ) = c02 + 1 ∑ c n2 = ∑ Fn 2 2 2
∞
∞ ∞
n =1
n =1
n = −∞
上式表明：周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有效值的平 方和。也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 证明：对于三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) = a0 + ∑ ⎡ ⎣ an cos ( nω1t ) + bn sin ( nω1t ) ⎤ ⎦
n =1 ∞
∫
t0 +T1
t0
⎧0 ∗ e jmω1t e jnω1t dt = ⎨ ⎩T1
(
)
m≠n m=n
1 ，当满足“狄利克雷条件” T1
根据三角函数集的正交特性得： ⎧ 1 t0 +T1 a0 = ∫ f ( t ) dt ⎪ t0 T 1 ⎪ ⎪ 2 t0 +T1 f ( t ) cos ( nω1t ) dt ⎨an = ∫t 0 T 1 ⎪ ⎪ 2 t0 +T1 f ( t ) sin ( nω1t ) dt ⎪ bn = ∫t T1 0 ⎩
n = 0, ±1, ±2,L
Fn 是第 n 次谐波分量的复数振幅。
jnω t 虚指数形式的傅里叶级数可由虚指数函数集 e 1 的正交特性，周期信号
{
}
f (t ) 直接展开而成，或者由三角函数形式的傅里叶级数间接导出。
Fn 与其它系数有如下关系： F0 = c0 = d 0 = a0
Fn = Fn e jϕn = 1 ( an − jbn ) 2 1 F− n = F− n e − jϕn = ( an + jbn ) 2 1 1 1 2 2 Fn = F− n = cn = d n = an + bn 2 2 2
（2）虚指数函数集
2
jnω t 虚指数函数集 e 1
{
} (n = 0,±1,±2,L) 在区间 (t , t
0
0
+ T1 ) 组成完备的正交函数
集。 这是因为它在区间 (t 0 , t 0 + T1 ) 内满足 二、三角函数形式的傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数的第一种形式（基本形式） 设周期信号为 f (t ) ，周期为 T1 ，角频率为 ω1 = 时，它可以展开成三角函数形式的傅里叶级数：
7
f (t ) = a0 + ∑ ⎡ ⎣ an cos ( nω1t ) + bn sin ( nω1t ) ⎤ ⎦
n =1
∞
平均功率为
1 P= T1
2 0
∫
T1
0
1 f (t )dt = T1
2
∫
T1
0
∞ ⎧ ⎫ ⎨a0 + ∑ [a n cos(nω1t ) + bn sin (nω1t )]⎬ dt n =1 ⎩ ⎭ 2
第三章
傅里叶变换
江禹生
3.1 周期信号的频谱分析
一、正交函数与正交函数集 1、函数正交 如果两个函数 f1 (t ) 、 f 2 (t ) 在区间（ t1 ，t 2 ）满足 ∫ f 1 (t ) f 2 (t )dt = 0 ，则称 f1 (t )
t2 t1
和 f 2 (t ) 在（ t1 ， t 2 ）内正交。 2、正交函数集 假设有 n 个函数 g1 (t ) ， g 2 (t ) ，L ， g n (t ) 构成一个函数集，这些函数在区间 （ t1 ， t 2 ）内满足如下正交特性： ⎧ t2 g (t )g (t )dt = 0 i ≠ j j ⎪∫t1 i ， K i 为一常数。 ⎨ t2 2 ( ) g t dt = K ⎪∫t i i ⎩ 1 则函数集称为正交函数集。也称 g1 (t ) ， g 2 (t ) ，L ， g n (t ) 构成一个 n 维的正 交信号空间。 当 K i = 1 时，称为归一化正交函数集。 任一函数 f (t ) 在区间（ t1 ， t 2 ）内，可以用组成信号空间的 n 个正交函数的 线性组合来近似地表示为：
k
f(
k)
FS ( t ) ←⎯→ ( jnω1 )
Fn
FS f ( t − t0 ) ←⎯→ Fn e− jnω1t0
五、函数的对称性与傅里叶系数的关系 1、偶函数 若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足 f (t ) = f (− t ) ，此时 f (t ) 是偶函数。
5
f (t )
E
L
−
T1 2
f1 (t ) f 2∗ (t )dt = ∫ f 1∗ (t ) f 2 (t )dt = 0集： 如果在区间（ t1 ， t 2 ）内，复变函数集 g1 (t ) ， g 2 (t ) ，L ， g n (t ) 满足如下关 系式： ⎧ t2 g (t )g ∗ (t )dt = 0 j ⎪∫t1 i ⎨ t2 ∗ ⎪∫t g i (t )g i (t )dt = K i ⎩ 1 i≠ j
{1, cosω1t , cos 2ω1t ,L, cos nω1t,L, sin ω1t, sin 2ω1t,L, sin nω1t,L} 在 区 间
(t 0 , t 0 + T1 ) 组成完备的正交函数集。 ω1 = 2π
T1
这是因为它在区间 (t 0 , t 0 + T1 ) 内满足：
∫
t0 +T1
t2 t2 t1 t1
函数集为完备正交函数集。 一般说，完备正交函数集中将包含有无限多个相互正交的函数。 这样 f (t ) = c1 g1 (t ) + c 2 g 2 (t ) + L + cr g r (t ) + L 3、复变函数的正交特性
1
设 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 是实变量 t 的复变函数， 两个函数 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 在区间 （ t1 ，t 2 ） 内相互正交的条件是：
则称此复变函数集为正交函数集。 对于一个完备的正交复变函数集，任意（实或复）函数 f (t ) 在区间（ t1 ，t 2 ） 可以表示为：
f (t ) = c1 g1 (t ) + c 2 g 2 (t ) + L + cr g r (t ) + L
4、两个常用的完备正交函数集 （1）三角函数集 三角函数集
FS f ( t ) ←⎯→ Fn FS f ∗ ( t ) ←⎯→ F−∗n FS f ( −t ) ←⎯→ F− n
FS f ( t ) cos (ω1t ) ←⎯→
1 ( Fn−1 + Fn+1 ) 2
FS f ( t ) s in (ω1t ) ←⎯→
1 ( Fn−1 − Fn+1 ) 2j
f
2
(t )dt =
1 T1
∫ f (t ) f (t )dt
f (t ) ≈ c1 g 1 (t ) + c 2 g 2 (t ) + L + c r g r (t ) + L + c n g n (t ) = ∑ c r g r (t )