第八章 二次型二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题.§8.1 二次型及其矩阵表示在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出：220ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去xy 项,通常的坐标变换公式为:cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-⎧⎨''=+⎩(1.2)从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式.定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式:2121111212112222232322221,111,1(,,,)22222n n nn nn n n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=+++++++++++ (1.3)称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++称为标准形式的二次型,简称为标准形.说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型:22222(,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z=++=+-++-下列多项式都不是二次型:2232(,)3321(,,)22431f x y x xy y x f x y z x xy yz z =++-+=+---定义8.1.3 设1212,,,;,,,n n x x x y y y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式11111221221122221122n n n nn n n nn nx c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ (1.4)称为由12,,,n x x x 到12,,,n y y y 的一个线性替换,或简称线性替换. 如果系数行列式0ij c ≠,那么线性替换(1.4)就称为非退化的.在研究二次型时,矩阵是一个有力工具,因此我们先把二次型用矩阵来表示. 令 ij ji a a =, 则有 2ij i j ij i j ji j i a x x a x x a x x =+, 于是(1.3)式可以改写为21211112121122121222222112211111221221122221122(,,,)()()()n n nn nn n n n nn n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x =++++++++++++=++++++++++++111122121122221211221112112122221212(,,,)(,,,)n n n n n n n nn n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x a a a x a a a x x x x a a a x +++⎛⎫⎪+++ ⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭记 11121121222212,n n n n nn n a a a x a a a xA x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则二次型可记为 Tf x x =A , (1.5) 其中A 是对称矩阵. 称(1.5)式为二次型的矩阵形式.例8.1.4 二次型 222(,,)22343f x y z x xy xz y yz z =+-++-的矩阵形式为323221(,,)(,,)11223x f x y z x y z y z ⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭说明: 任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵. 反之,任给一个对称矩阵可唯一地确定一个二次型. 因此, 二次型与对称矩阵之间有着一一对应的关系. 把对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵,也把f 称为对称矩阵A 的二次型. 称对称矩阵A 的秩为二次型的秩.例8.1.5 给定对称矩阵1213223113303104--⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭A 则其对应的二次型为:2222123411213142232434(,,,)42626234f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+--++-++对于二次型T f x x =A ,作线性替换x y =C ,其中11121121222212,n n n n nn n c c c y c c c y y c c c y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 则 ()()()T T T T T T f x x y y y y y y ====A C A C C AC C AC令 T=B C AC , 则有()()T T T T T T T T ====B C AC C A C C AC B ,即B 是对称矩阵.这样, 对称矩阵B 同样定义了一个二次型. 于是, 线性替换将二次型化为二次型. 定义8.1.6 设A,B 是数域P 上的n 阶方阵,如果有数域P 上的n 阶可逆矩阵C ,使得T =C AC B则称矩阵A 与B 合同, 记作AB .合同是矩阵之间的一个关系.易知,合同关系具有: (1) 反身性: 即A 与A 合同，因为T=A E AE ;(2) 对称性: 即若A 与B 合同，则B 与A 合同，因为由T=B C AC ,即得11()T --=A C BC ;(3) 传递性: 即若A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同，由11T =B C AC 和22T =C C BC ,即得221212()()T T ==C C BC C C A C C .说明: 经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 这样, 我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来,为以后的讨论提供了有力的工具.另外， 在二次型变换时,我们总是要求所作的线性替换是非退化的, 因为这样我们可以把所得的二次型还原. 定理8.1.7 若A 与B 合同,则rank rank =A B .证明: 因为A 与B 合同,所以存在n 阶可逆矩阵C ,使得T =C AC B由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩,故rankA rankB =.说明: 这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证. 这样,若B 是对角矩阵,则非退化的线性替换x y =C 就把二次型化为了标准形. 因此, 把二次型化为标准形的问题其实质是: 对于对称矩阵A ,寻找可逆矩阵C ,使得T=C AC B 为对角矩阵.§8.2 化二次型为标准形现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题. 1 配方法定理8.2.1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形,即只含有平方项.证明: 对变量的个数n 作数学归纳法.对于1n =,二次型就是21111()f x a x =, 显然已经是平方项了. 现假定对1n -元的二次型,定理的结论成立.再设 1211(,,,)()n nn ij i j ij ji i j f x x x a x x a a ====∑∑分三种情形来讨论: (1) (1,2,,)ii a i n =中至少有一个不为零,例如110a ≠,这时2121111111222221111122212121111111112222121111112(,,,)2()()()nnnnn j j i i ij i jj i i j nnnj j ij i jj i j nnnnj j j j ij i jj j i j njj ij i jj j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a a x a a x a x x a x a a x b x x =======--====-===+++=++=+-+=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22n ni =∑∑这里1211122222()n nn n nij ijj j ij i j i j j i j b x xa a x a x x -======-+∑∑∑∑∑是一个关于23,,,n x x x 的二次型.令111111222nj j j n ny x a a x y x y x -=⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 即111111222n j jj n nx y a a y x y x y -=⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 这是一个非退化线性替换,它使21211122(,,,)n nn ij i j i j f x x x a y b y y ===+∑∑由归纳法假定,对22n nijiji j b y y==∑∑有非退化的线性替换22222332332233332233n n n n n n n nn nz c y c y c y z c y c y c y z c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩能使它变成平方和2222233n n d z d z d z +++于是非退化线性替换11222223322233n n n n n nn nz y z c y c y c y z c y c y c y =⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩就使12(,,,)n f x x x 变成2222121112233(,,,)n n n f x x x a z d z d z d z =++++即变成平方和了.根据归纳法原理,定理得证.(2) 所有(1,2,,)ii a i n =都等于零,但是至少有一个10(2,3,,)j a j n ≠=,不失普遍性, 设120a ≠.令11221233n nx z z x z z x z x z =+⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 它是非退化线性变换,且使12121212121222121122(,,,)22()()22n f x x x a x x a z z z z a z a z =+=+-+=-+这时,上式右端是12,,,n z z z 的二次型,且21z 的系数不为零,属于第一种情况,定理成立.(3) 111210n a a a ====,由对称性知213110n a a a ====这时1222(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑是1n -元的二次型, 根据归纳法假定,它能用非退化线性替换变成平方和. 证毕. 例8.2.2 用配方法化二次型222123123121323(,,)25226f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形,并写出所用的非退化线性替换. 解: 由定理的证明过程,令11232233y x x x y x y x=++⎧⎪=⎨⎪=⎩, 即 11232233x y y y x y x y=--⎧⎪=⎨⎪=⎩ 得: 22212312233(,,)44f x x x y y y y y =+++ 上式右端除第一项外已不再含1y , 继续配方,令11223332z y z y y z y=⎧⎪=+⎨⎪=⎩, 即 11223332y z y z z y z=⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 得: 2212312(,,)f x x x z z =+ 所有的非退化线性替换为1123223332x z z z x z z x z=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 例8.2.3 用配方法化二次型1234121314232434(,,,)22f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+-+-为标准形,并写出所用的非退化性替换. 解: 由定理的证明过程, 令1122123344x y y x y y x y x y =+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 代入原二次型得:22123412131434(,,,)22222f x x x x y y y y y y y y =--+-这时21y 项不为零,于是2212341131423422221343434234222213423344222134234(,,,)(222)22111112[()]222244211112()222221112()2()222f x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =-+--=-+--+--=-+----=-+--+ 令113422334441122z y y y z yz y y z y ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪=⎪⎩ 于是, 22212341231(,,,)222f x x x x z z z =-- 其中24z 的系数为零,故没有写出.为求非退化线性替换, 我们可将第二个替换代入第一个替换中, 得1123421234334441212x z z z z x z z z zx z z x z ⎧=++-⎪⎪⎪=-+-⎨⎪=-⎪⎪=⎩ 说明: 在用配方法化二次型为标准形时,必须保证线性替换是非退化的. 有时,我们在配方过程中会遇到看似简单的方法,但得到的结果未必正确.如222123123121323222121323(,,)222222()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++-++=-++++若令112213323y x x y x x y x x=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ 则222123123(,,)f x x x y y y =++.然而, 1101010011-= 所以, 此处所作的线性替换是退化的,于是最后的结果并不是所求的. 2 初等变换法由于二次型与对称矩阵一一对应, 所以能用非退化线性替换化标准形的过程也可以用矩阵的方法做到, 由§8.1我们知道,矩阵合同可以将矩阵化为对角阵.于是,定理8.2.1可以用矩阵的语言描述出来.定理8.2.4 数域P 上任意一个对称矩阵A 都合同于一对角矩阵D . 即存在可逆矩阵C , 使得12Tn d d d ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭C ACD (2.1) 现在我们就根据定理8.2.4, 讨论用矩阵的初等变换来求定理8.2.4中的可逆矩阵C 及对角矩阵D . 由前面的知识,我们知道,可逆矩阵C 可以表示为有限个初等矩阵12,,,mP P P 的乘积,即 1212m m ==C P P P EP P P (2.2)将(2.2)式代入(2.1)式, 得 2112TT Tm m =P P P AP P P D (2.3)(2.3)式表明,对对称矩阵A 施行m 次初等行变换及相同的m 次初等列变换, A 就变为了对角矩阵D . 而(2.2)式表明对单位矩阵E 施行上述的初等列变换, E 就变为可逆矩阵C . 这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵C 及对角矩阵D ,使得A 与D 合同的方法称为初等变换法. 具体做法: 对以n 阶对称矩阵A 和n 阶单位矩阵E 做成的2n n ⨯矩阵进行初等变换2A n n ⨯⎛⎫⎛⎫−−−−−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对施行初等行变换 对矩阵施行相同的初等列变换A D E C 则T=C AC D . 例8.2.5 已知对称矩阵111123135⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A用初等变换法求可逆矩阵C 及对角矩阵D ,使得A 与D 合同.解: 31212131(1)(1)(1)(1)111101100123012012135125024100110111010010010001001001r r r r c c c c +-+-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=−−−−→−−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E3232(2)(2)100010000111012001r r c c +-+-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭所求可逆矩阵C 及对角矩阵D 为:111100012,010001000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C D且T=C AC D . 例8.2.6 已知二次型123121323(,,)226f x x x x x x x x x =+-用初等变换法将其化为标准形,并求非退化的线性替换.. 解: 二次型对应的矩阵为:011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A于是有,21121221121()211()2212011212202103103021302302201001001001011010001001001r r r r c cc c +-+++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎛⎫=−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 313231321122(4)11(4)221122200200020002200611131*********r r r r c c c c ++-++-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪⎪ ⎪ ⎪--−−−→−−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故非退化线性替换为11121222331311001x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭这样,二次型化为2221231262f y y y =-+ §8.3 惯性定理我们知道, 二次型与对称矩阵一一对应,并且对称矩阵可以合同化为对角矩阵. 又因为合同不改变矩阵的秩, 这样一来, 任意一个对称矩阵合同的对角矩阵对角线上不为零的元素的个数是不变的,就是矩阵的秩. 因此, 在一个二次型的标准形中,系数不为零的项的个数是唯一确定的, 与所作的非退化的线性替换无关. 至于标准形中的系数, 就不是唯一确定的.比如 在例8.2.6中, 我们还可以进一步,令11223322,,62z y z y z y ==-=则二次型化为 222123f z z z =-+.这说明, 在一般的数域内, 二次型的标准形不是唯一的, 而与所作的非退化的线性替换有关. 下面只就实数域和复数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.设对称矩阵A 的秩为r ,则由定理8.2.4知, 存在可逆矩阵C ,使得矩阵A 合同于对角矩阵D , 即1,0,1,2,,00rTi d d d i r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==≠=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C AC D即此时原二次型化为 222212112233(,,,)n r r f x x x d x d x d x d x =++++ (3.1)在这些不为零的i d 中,假设12120,0,,0;0,0,,0p p p r d d d d d d ++>>><<<,这样(1) 在实数域内, 我们令111222111222,,,,,,,p p p p p p p p p r r ry d x y d x y d x y d x y d x y d x ++++++====-=-=-则(3.1)式变为: 222222121212(,,,)n p p p r f x x x y y y y y y ++=+++---这就是说对称矩阵A 合同于下列对角矩阵:111,10⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中有p 个1, r p -个1-,n r -个0. (2) 在复数域内, 我们令111222,,,r r r y d x y d x y d x ===则(3.1)式变为: 2221212(,,,)n r f x x x y y y =+++这就是说对称矩阵A 合同于下列对角矩阵:11,00⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中有r 个1. 定义8.3.1 在实数域内, 称222222121212(,,,)n p p p r f x x x y y y y y y ++=+++---为实二次型的规范形; 在复数域内, 称2221212(,,,)n r f x x x y y y =+++为复二次型的规范形.定理8.3.2 (惯性定理) 设12(,,,)n f x x x 是一个n 元实二次型,且f 可化为两个规范形:2222221212p p p r y y y y y y +++++---, 2222221212q q q r z z z z z z +++++---则必有 p q =.证明: 用反证法. 设p q >, 由前面知识知,22222212122222221212p p p r q q q ry y y y y y z z z zzz +++++++---=+++--- (3.2)又设 ,x y x z ==B C其中 111222,,n n n x y z x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是, 1z y -=C B .令1112121222112n n n n nn c c c c c c c c c -⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭C B 则 11111221221122221122n n n nn n n nn nz c y c y c y z c y c y c y z c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩因为p q >,齐次线性方程组111122121122221122100000n n n n q q qn n p n c y c y c y c y c y c y c y c y c y y y +⎧+++=⎪+++=⎪⎪⎪⎪+++=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩ 必有非零解(n 个未知数,()n p q --个方程式). 令其中一个非零解为:11221,,,,0,,0p p p n y a y a y a y y +=====把这组解代入(3.2)式中的上式, 得到:22222222121120p p r p y y y y y a a a ++++---=+++> 但这时120q z z z ====,故(3.2)式中的下式为222222212110q q r q r z z z z z z z +++++---=---≤这样就得出了矛盾. 同理可证 p q <也不可能. 于是 p q =.证毕.说明: 这个定理表明了实二次型的规范形是唯一的. 定义8.3.3 在实二次型的规范形222222121212(,,,)n p p p r f x x x y y y y y y ++=+++---中, 则称r 是该二次型的秩,p 是它的正惯性指数,q r p =-是负惯性指数, s p q =-称为f 的符号差.推论8.3.4 两个实二次型合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数. 定理8.3.5 设12(,,,)n f x x x 是一个n 元复二次型,则f 经过适当的非退化线性替换可以化为规范形,且规范形是唯一的.推论8.3.6两个复二次型合同当且仅当它们有相同的秩.§8.4 正定二次型在实二次型中,正定二次型占有特殊的地位. 所以本节主要介绍实二次型,并讨论它们的正定性.定义8.4.1 设12(,,,)T n f x x x x x =A 是一个n 元实二次型, 如果对任意n 维列向量0x ≠都有:(1) 0f >,则称f 为正定二次型,并称实对称矩阵A 为正定矩阵; (2) 0f <,则称f 为负定二次型,并称实对称矩阵A 为负定矩阵; (3) 0f ≥,则称f 为半正定二次型,并称实对称矩阵A 为半正定矩阵;(4) 0f ≤,则称f 为半负定二次型,并称实对称矩阵A 为半负定矩阵;(5) f 既不满足(3) ,又不满足(4) ,则称f 为不定二次型,并称实对称矩阵A 为不定矩阵. 例8.4.2 已知A 和B 都是n 阶正定矩阵,证明+A B 也是正定矩阵. 证明: 因为A 和B 都是n 阶正定矩阵,所以,T T ==A A B B ,于是()T T T +=+=+A B A B A B即+A B 也是对称矩阵.又任意0x ≠,有0,0,T T x x x x >>A B 从而()0T T T x x x x x x +=+>A B A B即()T x x +A B 是正定二次型,故+A B 是正定矩阵. 定理8.4.3 n 元实二次型12(,,,)T n f x x x x x =A 正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .证明: 设n 元实二次型12(,,,)T n f x x x x x =A 经过非退化线性替换x y =C 化为标准形21ni i i f d y ==∑充分性. 已知0(1,2,,)i d i n >=,对于任意0x ≠有10y x -=≠C ,故210ni i i f d y ==>∑必要性. 用反证法.假设有某个0t d ≤,当取(0,,1,,0)T t y ε==时,有0t x ε=≠C ,此时0T T T t t t f x x d εε===≤A C AC这与已知f 为正定二次型矛盾.故0(1,2,,)i d i n >=. 证毕.推论8.4.4 实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为正数. 推论8.4.5 实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 合同于单位矩阵E . 推论8.4.6 实对称矩阵A 为正定矩阵的必要条件是det 0>A .证明: 因为A 为正定矩阵,由推论8.4.5, A 合同于单位矩阵E ,所以有可逆矩阵C 使T T ==A C EC C C两边取行列式,有2det det()det det (det )0T T ===>A C C C C C说明: 从定义可以看出,如果我们根据定义来判断二次型的正定性是比较麻烦的.所以我们下面给出一个方便判断的结论. 定义8.4.7 子式111212122212,(1,2,,)i i i i i iia a a a a a i n a a a ∆==称为矩阵()ij n n a ⨯=A 的顺序主子式. 定理8.4.8 n 元实二次型12(,,,)T n f x x x x x =A 正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零. 证明: 1211(,,,)n nTn ij i j i j f x x x x x a x x ====∑∑A必要性. 已知二次型f 是正定的.令1211(,,,)(1,2,,)k kk k ij i j i j f x x x a x x k n ====∑∑则对任意的列向量12(,,,)0T k x x x ≠,有 1212(,,,)(,,,,0,,0)0(1,2,,)k k k f x x x f x x x k n =>=从而12(,,,)k k f x x x 是k 元正定二次型.由上面的推论8.4.6知,1112121222120,(1,2,,)k k k k k kka a a a a a k n a a a ∆=>=充分性. 已知0(1,2,,)k k n ∆>=.对阶数n 作数学归纳法. 当1n =时,2111f a x =,由1110a ∆=>知f 是正定的. 假设论断对1n -元二次型成立. 以下来证n 元二次型的情形.注意到1110a ∆=>,将f 关于1x 配方,得2111122122111()n nn n ij i j i j f a x a x a x b x x a ===++++∑∑其中 1111(,2,3,,)i j ij ij a a b a i j n a =-=由ij ji a a =知ij ji b b =.如果能证明1n -元实二次型22k kij iji j b x x==∑∑是正定的, 则由定义知f 也是正定的. 根据行列式性质,得11121111212222122222211111122,3,,1220(2,3,,)0k k nk k i k i k kki nk k kkk kka a a a a ab b a a a b b a r r a k n a b b a a a b b =∆=-==从而22220(2,3,,)nk kkb b k n b b >=由归纳假设知1n -元实二次型22kkij iji j b x x==∑∑是正定的. 证毕.例8.4.9 判断下列二次型的正定性.22212312132355484f x x x x x x x x x =+++--解: 二次型f 的矩阵为524212425-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭因为 1235245250,10,2121021425-∆=>∆==>∆=-=>--.所以f 是正定的.例8.4.10 试求t 的取值范围,使下列二次型为正定二次型.22221234121323443224f x x x x tx x x x x x =++++-+;解: 二次型对应的矩阵为11042012400003t t -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭A 矩阵A 的顺序主子式为2123411110,4,424(1)(2),112411042012(1)(2)12400003t tt t t t t t t t t -∆=>∆==-∆==--+--∆==--+-为了使A 正定,必须有: 0(1,2,3,4)i i ∆>= 即有 240,(1)(2)0t t t ->-+< 解得 21t -<<.最后,我们注意到正、负定二次型的关系,于是有下面的结论. 定理8.4.11 n 元实二次型12(,,,)T n f x x x x x =A 负定的充分必要条件是下列条件之一成立.(1) f 的负惯性指数为n ; (2) A 的特征值全为负数; (3) A 合同于E -;(4) A 的各阶顺序主子式负正相间,即奇数阶顺序主子式为负数,偶数阶顺序主子式为正数. 定理8.4.12 n 元实二次型12(,,,)T n f x x x x x =A 半正定的充分必要条件是下列条件之一成立.(1) f 的正惯性指数与秩相等; (2) A 的特征值全为非负数; (3) A 合同于r ⎛⎫⎪⎝⎭000E ,其中r 为矩阵A 的秩; (4) 存在实矩阵C 使得T=A C C ;(5) A 的各阶主子式都非负,其中主子式就是指行指标与列指标相同的子式. 说明: 仅有顺序主子式非负是不能保证半正定性的. 如1212212200(,)(,)01x f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭就是一个反例.习题八(A)1. 证明：秩等于r 的对称矩阵等于r 个秩为1的对称矩阵之和.2. 设12,,,i i in λλλ是12,,,n λλλ的一个排列，则下面两个对角阵12n λλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与 12i i in λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭合同。