(u,v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
y则 区 域 D变 换 为 D,如 图 所 示 4 v
xy=2
于是 x1(uv), y1(2uv),
3
3
z 1(u2v)
3
.
1 11
3 33 J (x, y, z) (x, y, z) 2 1 1 1
(u,v,) 3 3 3 3
1 2 1 3 33
于是
I
2
cos()
(x, y, z)
(u,v,)
dudvd
1 3
2
cos() dudvd
.
再 用 u,v,表 示 ,得 {(u,v,)|0u1,0v1,01 }
D
线xy2所围成的闭y区域．
解 令 u y x , v y x ,
则 xvu, yvu.
2
2
DD,即 x 0 u v;
xy2
D
o
x
v
v2
y 0 u v; u v D uv
x y 2 v 2.
o
u
.
J
(x, y) (u,v)
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
abc
2
d
sin d
1 4d
0
0
0
4 abc
5
该题所用到的变换称为广义球坐标变换.
.
二、小结
1．作什么变换 于主 积要 分取 D区 ,决 的 域形 同时也兼顾f被 (x,y积 ),f(函 x,y,数 z)的形式
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2. J((xu,,vy))(u1,v). (x, y)
.
二、三重积分的换元法
定理设f(x,y,z)在空间区域 上 连续，变T换 : xx(u,v,w), yy(u,v,w) zz(u,v,w)将ouv空 w 间的闭 区 变域为 Oxyz 空间的闭 区 ，域 且满足
(1) x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)在上具有一阶 连续偏导数； (2)在 上雅可比J式 (u,v,w)(x,y,z) 0;
(u,v,w)
.
(3)变换 T:是一对一的，则
f(x,y,z)dxdydz
f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]J(u,v,w)dudvd
.
例1 计 算 I(xyz)cos(xyz)2dv,其 中
={(x,y,z)|0xy1,0xz1,0xyz1 }.
解 : 为 了 使 积 分 区 域 变 得 简 单 ， 我 们 作 坐 标 变 换 ： x y u , x z v , x y z ,
.
思考题
计 算 Dx yye(xy)2d， 其 中 D： xy1，
1
xy=1
o 12
u
o
x.
而
T
:
x
u, v
y
uv,
1 1 u
故 J(u,v) (x, y) 2 uv 2 v3 1 ,
(u,v) 1 v 1 u 2v
2u 2v
x2y2dxdy u2 1dudv
D
D 2v
1 2 4u2
7
du dv ln2
21
v 1 .
3
yx
例2 计算 eyxdxd,其 y 中 D由x轴、 y轴和直
其 a 0 ,b 中 0 ,r 0 ,0 2 .
在这 D D 变 {r , ( ) 0 换 r 1 ,0 下 2 },
.
J ((xr,,y)) ab.r
J 在D内仅当 r 0处为零， 故换元公式仍成立，
D1a x2 2b y2 2dxd D y1r2ad b rd32 ab .
sin
z c
cos
x a sin cos
即
y
b
sin
sin
z c co s
.
于是
J(x, y,z) (x, y,z)
(,,)
asincos acoscos asinsin
bsinsin bcossin bsincos
ccos
csin
0
abc2 sin
因此
.
I abc 4 sin d dd
e yxdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1 2(ee1)vdvee1.
v
20
说明 :通过换元可将被 较积 复函 杂数 的形式
.
例3
计算
D
1ax22 by22dxd,y其中D为
椭
圆x2 a2y2 b2来自1所围成的闭区域
．
解 作广义极 坐 xy b a标 rsrcio变 n ,s, 换
因此
I1d u1d v11 co s()2d 1sin1 .
0 0 03
6
.
例2
求
x2 a2
by22
cz22
dv, 其中为椭球体
x2 y2 z2 1. a2 b2 c2
解 把分式看作一个整体,那么积分区域就可以
看成一个球面,因此我们做如下的坐标变换
x a
sin
cos
y b
sin