第二轮复习：解三角形
班级：高三（1）班 教师：卢红信
考向1 利用正、余弦定理解三角形
考向1 利用正、余弦定理解三角形
经典例题：
(2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，
若2asin B＝ 3b，则角A等于( D )
A.
12
B.
6
C.
4
D.
3
解析 在△ABC中，利用正弦定理得2sin Asin B＝ 3sin B，
形状为( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
还有别的方法吗？
考向2 利用正、余弦定理判定三角形形状
经典例题：
(1)(2013·陕西，7)设△ABC的内角A，B，C所对的边分
别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的
形状为( BБайду номын сангаас)
A．锐角三角形
C. 2 D. 5
方
6
3
3
6
法
方法二 由条件可得
sinB acosC＋ccosA＝12 b ,?
总 比
由任意三角形的射影定理 b acosC＋ccosA 困
可得 b sin B 1 b ∴sin B＝ 1，
难 多
2
2
！
又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝ 6.
考向2 利用正、余弦定理判定三角形形状
52 112 132 0 ABC为钝角三角形
考向2 利用正、余弦定理判定三角形形状
变式训练：
(1)在△ABC中，若b＝asin C，c＝acos B， 则△ABC的形状为________．
(2)(2012·上海，16)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，
则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
考向2 利用正、余弦定理判定三角形形状
变式训练：
(1)在△ABC中，若b＝asin C，c＝acos B， 则△ABC的形状为________．
方法一： c a cos B
方法二： c a cos B
c a a2 b2 c2 2ac
3
∴sin A＝ 2 .
又A为锐角，
∴A＝ .
3
等式两边都有角的正弦或边 的，优先考虑用正弦定理
“角化边”或“边化角”哦！
考向1 利用正、余弦定理解三角形
经典例题：
(2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，
若2asin B＝ 3 b，则角A等于( D )

A. 12 B.
2
∴sin(A＋C)＝ 1 ，从而sin B＝ 1，
2
2
又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝ 6.
考向1 利用正、余弦定理解三角形
变式训练：
(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
若asin
Bcos
C＋csin
Bcos
A＝
1 2
b，且a＞b，则B等于(
A
)
A.
B.
考向2 利用正、余弦定理判定三角形形状
经典例题：
(1)(2013·陕西，7)设△ABC的内角A，B，C所对的边分
别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的
形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
(2)(2015·上海嘉定一模，16)若△ABC的三个内角满足
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
方法二： a＝bcosC＋ccosB a＝asinA sinA＝1
A
2
考向2 利用正、余弦定理判定三角形形状
(2)(2015·上海嘉定一模，16)若△ABC的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 解析：
若asin
Bcos
C＋csin
Bcos
A＝
1 2
b，且a＞b，则B等于(
A
)
A.
6
B.
3
C. 2
3
D. 5
6
解析 由正弦定理得sinAsin Bcos C＋sinCsin Bcos A＝ 1 sinB，
2
因为 sin B 0， 所以 sin Acos C＋sin Ccos A＝ 1，
考向2 利用正、余弦定理判定三角形形状
经典例题：
(2)(2015·上海嘉定一模，16)若△ABC的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
解析：
a2 b2 c2 0 cosC 0 C为钝角 ABC为钝角三角形
sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
考向2 利用正、余弦定理判定三角形形状
经典例题：
(1)(2013·陕西，7)设△ABC的内角A，B，C所对的边分
别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的
b2 c2 a2 A＝90
判定三角形形状常用的结论
1 sin C 1 C 90 ABC是直角三角形
2由余弦定理得 a2 b2 c2 2ab cosC
若C为最大的角，则有以下结论：
1 a2 b2 c2 0 cos C 0 C为锐角 ABC为锐角三角形
2 a2 b2 c2＝0 cos C＝0 C为直角 ABC为直角三角形



C.
D.
6
4
3
变式训练：
(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
若asin Bcos C＋csin Bcos A＝ 1 b，且a＞b，则B等于( )
2
A.
6
B.
3
C. 2
3
D. 5
6
考向1 利用正、余弦定理解三角形
变式训练：
(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
3 a2 b2 c2 0 cos C 0 C为钝角 ABC为钝角三角形
3 sin C sin(A B) cos(A＋B)＝－cosC
任意三角形的射影定理
a bcosC c cos B c a cos B bcos A
b a cosC c cos A