假设，而不失各种椭球假设的一般性。
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几何光学模型的四分量 (four components) 对稀疏森林成像时，遥感象元反射率由四部分 组成，即光直接照射的树冠、树冠阴影面、直 接照射的地面（背景）、阴影遮蔽的地面。
森林中的地面通常不是裸土，而是草类等低矮植被。
6/17 类似上节讲过的混合象元，象元（冠层）的反射率为： R = KCRC + KTRT + KGRG + KZRZ KC、KT 、 KG 、 KZ分别为几何光学模型中的四个分量， 即光照树冠、阴影树冠、光照背景、阴影背景在象元中所
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椭球向球型的坐标转换 利用坐标转换可以进一步将椭球转换为球型， 使数学表达更为简单。
传感器 太阳
(θi,φi)
r
(θv,φv) 假设树冠是一个垂直 半径为 b，水平半径为 r的椭球，球心位于一 个坡度为θs、方位为φs 的坡面上方h。
z (θ=0)
b
h
坡向
(θs, φs)
x (φ=0)
坡面方向以法线为准。 所有方位以 x 轴为准。
R 2
2 R 2 A' T (1 cos) 2
(1 cos)
15/17 整个区域内共有λA 棵树，即全部光照树冠面积合计为 ：
2 考虑到区域面积投影到视线垂直方向的平面上，也就是传
感器像平面上，即像元面积比地面实际面积小，为Acosθv。 于是像元内光照树冠面积比例：
A
R2
模型条件描述 在实际应用中，我们更多地会遇到树木比较 密的林地，此时树木之间在太阳方向和视线 方向出现相互遮挡，阴影也可能重叠。本小 节即探讨建立这种浓密条件下的模型。
模型中仍存在四分量，即光照树冠、阴影树冠、光照 背景、阴影背景，各分量为朗伯体，林木位于水平地
面，并且仍忽略天空散射光的影响。
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注意假设是无遮挡的。 地面投影形状是椭圆。
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垂直下视条件下 1 个象元中四分量的面积
假设 1 个象元内有 n棵树，则四分量的面积分别为：
n AC (aC) j (1 cos i ) rj2 2 j1 j1 n n AT (aT) j (1 cos i ) rj2 2 j1 j1 n
e 又出现了！ n趋于无穷？
5/17 引入单位面积内树木的平均个数 λ，存在 λ = n/S，带入上式， 即得到光照点概率为
a ，阴影点概率为 e a 。 1e
稀疏表达是浓密表达的一阶展开。
上式中，a 是树冠在水平地面投影面积，它与投射方向 Ω(θ, φ) 有关，即太阳方向不同，a 也不同，应写为 a(θ, φ)。
遥 感 物 理
第二章 植被遥感模型 第二节 冠层反射率模型--几何光学模型 Canopy Reflectance (CR) Model – Geometric - Optical Model
√ §2.2.1 稀疏分布林冠椭球模型 §2.2.2 浓密分布条件下的模型 §2.2.3 进一步的讨论
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垂直下视条件下的 1 棵树的光照树冠面积aC 许多传感器，如Landsat、SPOT均可以近似 看作垂直下视（nadir view)。
如左图，假设太阳以θi角入射半 径为r 的球型树冠，则图中以粗 r 线表示的光照树冠面积为：
θi
aC
2 aC r (1 cos i ) 2
aC 的表达式是如何推导的？
如左图，假设太阳入射方向为
太阳
(θi, φi)
传感器
(θv, φv)
Ωi(θi , φi)，传感器观测方向为
Ωv(θv, φv)。 r
通过旋转坐标系，使传感器方 向变为垂直，即可借鉴树冠直
半径为r 的球型树冠
视时的公式。
14/17 旋转坐标系后，太阳的入射角即变为太阳入射方向 Ωi与传 感器观测方向Ωv的夹角Θ，并有：
m = λπR2为林木 平均郁密度，或 称覆盖指数
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垂直下视条件下 象元中四分量的面积比例
将上述AC、AT、AZ、AG四个表达式分别除以象元 面积 A，则光照树冠、阴影树冠、阴影背景、 光照 背景在象元中所占面积比例分别为：
R 2 KC (1 cos i ) 2 R 2 KT (1 cos i ) 2
3/17 首先我们定义一个新的高度坐标： r z' z b 在新的坐标空间里，原来的直线仍为直线，椭球变成了球， 而几个变量分别变为：
' tan 1 ( b tan i ) 入射方向天顶角： i r b 观察方向天顶角： 'v tan 1 ( tan v ) r ' 1 r 坡度角： s tan ( tan s ) b r h' h 球心高度： b
占面积比例，RC、RT、RG、RZ则分别为上述四个分量的
反射率（假设均为朗伯反射）。 几何光学模型的基础就是四分量模型，上式是其基本模型 ，所有后续模型都建立在上式的基础上。其关键在于根据 假设条件，求取KC、KT 、 KG 、 KZ的表达式，条件不同 ，面积比例 K 的表达式也不同。
RC、RT、RG、RZ一般可以通过实测获得。
我们前面对布尔模型推导过程中例举的是照射，但间隙对视角方向同样存在。
7/17 将树冠分为光照树冠、阴影树冠，将背景分为光照背景、 阴影背景，由此可得四分量面积比例间的关系：
AZ
2 ( a Z ) j se c i r j j1 j1
n
n
若象元面积为 A，则光照背景面积为：
AG A AC AT AZ A (1 se ci ) rj2
j1
n
第 j 棵树的树冠半径为 rj 。
10/17 为了反演方便，将遥感成像的森林进行参数化，引入统计 数据，即林区单位面积内树木的平均个数 λ，以及树冠平
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垂直下视条件下的 1 棵树的阴影树冠面积aT和 阴影背景面积aZ
阴影树冠面积为：
2
2 aT r aC r (1 cos i ) 2
如左图，假设太阳以θi角入射半 径为r 的球型树冠，则阴影背景 面积即是以粗线表示的面积在水
平面上的投影：
aZ = πr2/cosθi = πr2secθi
4/17 然后再旋转坐标系，使坡面的法向成为新坐标系的z’’轴， 即 x 轴旋转 φs’，z’ 轴旋转 θ s’。
在新的坐标空间里，入射方向与观测方向的天顶角和方位
角、球心高度等都会发生变化，具体的公式更加复杂，可 以自行推导。 经过这样 z 方向的线形拉伸和坐标系向坡面方向旋转，斜 坡上的椭球植株（林木）的几何光学问题就完全等效于水 平地面上的球型植株问题。 因此，在下述推导中，我们均会采用水平球型的几何分布
KZ R 2 se ci
KG 1 R 2 (1 seci )
某些文献中，除以A-AG，造成面积比例的表达式不同。
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垂直下视时的冠层反射率
将四分量的面积比例代入前面所述公式：
R KCRC KTRT KGRG KZRZ 1 2 1 R [ (1 cosi ) RC (1 cosi ) RT 2 2 seciRZ (1 seci ) RG ] RG
cos cos i cos v sini sinv cos(i v )
参考直视时平均每个树冠的光照面积和阴影面积分别为：
A' C
R 2
2
(1 cosi )
A' T
R 2
2
(1 cosi )
我们进而得到任意视角下单个树冠光照和阴影的面积：
A' C
遥 感 物 理
第二章 植被遥感模型 第二节 冠层反射率模型--几何光学模型 Canopy Reflectance (CR) Model – Geometric - Optical Model
§2.2.1 稀疏分布林冠椭球模型 √ §2.2.2 浓密分布条件下的模型 §2.2.3 进一步的讨论
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布尔模型 (Boolean model) 利用概率统计方法推导光照（可记为1）和阴 影（可记为0）出现的概率。
只考虑地面。假设每个树冠在地 面产生的阴影面积为 a，在面积 为 S的地面上一共有 n棵树，则 没有阴影（即光照）的地面的比 例是多少？这是一个概率问题。 当存在 1棵树时，阴影比例为a/S， 则光照比例为 1 - a/S。 当存在 2棵树时，光照比例是？
4/17 存在 2棵树时，由于阴影可能重叠，阴影比例不是简单的 2a/S。我们可以换个角度考虑。
只有 1棵树时，光照比例，即地面某点不是阴影的概率是
1-a/S；2棵树时，满足前后 2次投射后同时为光照点的概率 即为 (1-a/S)2，由此可算出此时阴影点概率为 1- (1-a/S)2 。 依次类推，n棵树时，光照点概率为：(1-a/S)n 。 上式可以写为： (1 - a/S) n eln[(1a / S) n ] enln(1a / S) 考虑当x很小时： ln(1 x) x 浓密条件下a/S 很小，因此光照点概率可以写为：e na / S
均半径 R。因而存在：
2 2 r AR j j1 n
此时，1 个象元中四分量的面积分别为：
R 2 AC A (1 cos i ) 2 R 2 AT A (1 cos i ) 2 AZ AR 2 se ci
AG A AR 2 (1 se ci )
模型假设条件描述 本模型用于对森林地区冠层反射率的求算。 所谓冠层反射率，指植被上界出射辐射与入 射辐射的比值。模型有 2个主要假设： • 稀疏分布：森林中树木分布非常稀疏， 相互之间没有遮挡，树木阴影没有重叠； • 椭球树冠：树冠形状为椭球。它有固定 几何形状，而且数学表达简单。