晶胞空间利用率的计算
枣阳一中彭军
在新课标人教版化学选修3《金属晶体》一节中，给出了金属晶体四种堆积方式的晶胞空间利用率。

空间利用率就是晶胞上占有的金属原子的体积与晶胞体积之比。

下面就金属晶体的四种堆积方式计算晶胞的空间利用率。

简单立方堆积：
在简单立方堆积的晶胞中，晶胞边长a 等于金属原子半径r的2倍，晶胞的体积V 晶胞
=(2r)3。

晶胞上占有1个金属原子，金属原子的体积V原子=4 n r3/3 ，所以空间利用率V 原子/V 晶胞=4n r3/ (3X (2r)3) =52.33 体心立方堆积:
在体心立方堆积的晶胞中，体对角线上的三个原子相切，体对角线长度等于原子半径的4倍。

假定晶胞边长为a，则a2 + 2a2 = (4r)2, a=4 r/ V3 ,晶胞体积V 晶胞=64r3/
3V3。

体心堆积的晶胞上占有的原子个数为2 ,原子占有的体积为V原子=2 X
(4n r3/3 )。

晶胞的空间利用率等于V原子N晶胞=(2X 4n r3X 3V3) / (3X 64r3)
=67.98 % 。

面心立方最密堆积
在面心立方最密堆积的晶胞中，面对角线长度是原子半
径的4倍。

假定晶胞边长为a,则a2 + a2 = (4r)2 ,a = 2V2r ,
晶胞体积V晶胞=16V2r3。

面心立方堆积的晶胞上占有的原子数为4，原子占有的体积为V原子=4X( 4n r3/3 )。

晶胞的空间利用率等于V原子/V晶胞=(4X 4 n r3)/(3 X 16V2r)= 74.02 % .
六方最密堆积
六方最密堆积的晶胞不再是立方结构。

晶胞上、下两个底面为紧密堆积的四个原子中心连成的菱形，边长a = 2r ,夹角分别为60°、120°，底面积s = 2r X 2r X sin( 60°) 晶胞的高h 的计算是关键，也是晶胞结构中最难理解的
在晶胞的上、下两层紧密堆积的四个原子中，各有两个凹穴，中间层的原子在上、下两层正对的凹穴中。

中间层的原子和上层
形成凹穴的三个原子构成一个正四面体；和下层对应的三个原子也构成一个正四面体，这两个正四面体的高之和就是晶胞的高。

正四面体的边长为2r, 正四面体的高h i = 2 V2rl V3。

晶胞的高为h = 4 V2rl V3，晶胞的体积V 晶胞=(2r x 2r x sin( 60° ) x 4V2r)/ V3 =
8V2r3o 六方最密堆积的晶胞上占有2 个原子，原子的体积V 原子= 2 x(4n r3/3 )。

晶胞的空间利用率为V 原子/V 晶胞= (2X 4n r3)
/ (3x 8V2r3) = 74.02 % .。