= JA(JA＋JB) = 4.19×10 2 N·m·s
负号表示与方向相反．
B轮受的冲量矩
= JB(ω - 0) = 4.19×102 N·m·s
方向与相同．
9.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑 水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞．碰 撞点位于棒中心的一侧处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动 的角速度ω．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量 为，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)
解：作示力图．两重物加速度大小a相同，方向如图.
m1g－T1＝m1a
T2－m2g＝m2a
设滑轮的角加速度为β，则 (T1－T2)r＝Jβ
且有
a＝rβ
由以上四式消去T1，T2得：
开始时系统静止，故t时刻滑轮的角速度．
7.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑 轴O转动．棒的质量为m = 1.5 kg，长度为l = 1.0 m，对轴的转动惯量为J
解：(1) 角动量守恒：
∴
＝15.4 rad·s-1
(2) 由转动定律，得： －Mr＝(＋)β
0－ω 2＝2βθ
∴
＝15.4 rad
8.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量 分别为 J＝10 kg·m2 和 J＝20 kg·m2．开始时，A轮转速为600 rev/min，B轮静止．C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计．A、B分 别与C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得到加速 而A轮减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，求：
因为刚体的转动惯量与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀 质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为，若按质量全部集中于质 心计算，则对同一轴的转动惯量为零．
2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力 的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？
参考解答： 根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定 于内力做的功。
= ．初始时棒静止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并 留在棒中，如图所示．子弹的质量为m= 0.020 kg，速率为v = 400 m·s1．试问：
(1) 棒开始和子弹一起转动时角速度ω有多大？ (2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N·m的恒定阻力矩作用，棒能转过 多大的角度θ？
Байду номын сангаас
由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量 元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动 时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。
非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内 力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力 做的功。
代入式②得
当小球滑到C点时，由角动量守恒定
律，系统的角速度又回复至ω0，又由机械能守恒定律知，小球在C的动
能完全由重力势能转换而来．即：
,
研讨题
1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中 于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什 么？举例说明你的结论。
参考解答： 不能．
解：R = 0.5 m，ω0 = 900 rev/min = 30π rad/s，
根据转动定律
M = -Jβ
①
这里
M = -νNR
②
ν为摩擦系数，N为正压力，．
③
设在时刻t砂轮开始停转，则有：
从而得
β＝ω0 / t
④
将②、③、④式代入①式，得
∴
Rω0 / (2Nt)≈0.5
3. 有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦 系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始 旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量，其中m为 圆形平板的质量）
解：选小球和环为系统．运动过程中所受合外力矩为零，角动量守恒． 对地球、小球和环系统机械能守恒．取过环心的水平面为势能零点．
小球到B点时： J0ω0＝(J0＋mR2)ω
①

②
式中vB表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环
的速度．由式①得：
ω＝J0ω 0 / (J0 + mR2)
1分
解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为
式中ρ为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为
因碰撞前后角动量守恒，所以
∴
ω = 6v0 / (7L)
10. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的 半径为R，初始时环的角速度为ω0．质量为m的小球静止在环内最高 处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O 在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对于环 的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环 截面半径r<<R.)
(1) 两轮啮合后的转速n； (2) 两轮各自所受的冲量矩．
解：(1) 选择A、B两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守
恒 JAωA＋JBωB = (JA＋JB)ω，
又ωB＝0得： ω ≈ JAωA / (JA＋JB) = 20.9 rad / s
转速
200 rev/min
(2) A轮受的冲量矩
相同，
at = βA r1 = βB r2
则
βA = βB r2 / r1
A轮角速度达到ω所需时间为
s＝40 s
2.一砂轮直径为1 m质量为50 kg，以 900 rev / min的转速转动．撤去动 力后，一工件以 200 N的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在11.8 s内停 止．求砂轮和工件间的摩擦系数．(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕 轴的转动惯量为mR2，其中m和R分别为砂轮的质量和半径).
∴
两边积分：
得
ln2 = kt / J
∴
t＝(J ln2) / k
5.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴 上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光 滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离 S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)．
当质心平动的速度vc= 0而角速度 0 时，乒乓球将返回．因此，要 使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度0的大小应满足一定的 关系． 解题：由质心运动定理: 因, 得 (1) 由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律 , 得 (2) 由(1),(2)两式可得 , 令 可得 这说明当vc= 0和0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．
解：在r处的宽度为dr 的环带面积上摩擦力矩为
总摩擦力矩
故平板角加速度
β =M /J
设停止前转数为n，则转角 = 2n
由
可得
4. 一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受 阻力矩与转动角速度成正比，即M＝－kω (k为正的常数)，求圆盘的角 速度从ω0变为时所需的时间．
解：根据转动定律： Jdω / dt = -kω
刚体定轴转动
计算题
1. 如图所示，半径为r1＝0.3 m的A轮通过皮带被半径为r2＝0.75 m的B轮 带动，B轮以匀角加速度π rad /s2由静止起动，轮与皮带间无滑动发 生．试求A轮达到转速3000 rev/min所需要的时间．
解：设A、B轮的角加速度分别为βA和βB，由于两轮边缘的切向加速度
解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和
转动定律得：
mgT＝ma ①
T r＝Jβ
②
由运动学关系有：
a = rβ
③
由①、②、③式解得： J＝m( g－a) r2 / a
④
又根据已知条件 v0＝0
∴ S＝， a＝2S / t2 ⑤
将⑤式代入④式得：J＝mr2(－1)
6.如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2，定滑轮的半 径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不 计．设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度．
3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？
参考解答：
分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动 和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的 力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力 Fr的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动 的速度vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度逐渐变 小．