《向量垂直的坐标表示》进阶练习
一、选择题
2 2
1. 已知点P 是椭圆 | 上的动点，F i , F 2为椭圆的两个焦点，0是
閒 24
坐标原点，若 M 是/ F 1PF 2的角平分线上一点，且]J 心:,■,则|0M|的取值范围是 ( )
2. 已知左—㈠，可—：—二门，向量剧亠可与 垂直，则实数入的值为( ) ] 1 I I A. B. C. D.- 2 2
:i
3
，满足壬？ =0且3壬2= 2
,则寸与 P 的夹角为(
二、解答题 4.
已知向量「 0是坐标原点，动点 P 满足：|匸广;”：“：■ = ]
(1) 求动点P 的轨迹；
(2) 设B C 是点P 的轨迹上不同两点，满足 朋=.江::;如爭：讥w Q ,在x 轴上是 否存在点A ( m 0),使得而_丿「，若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，说 明理由.
5.
已知 A (4, 1) , B ( 1, 4), C (-4 , -1 ), D (-1 , -4 ),通过作图判断四边形 ABCD 勺
形状，并证明你的结论.
A. (0, 2
]
B.
C.[2 ,)
D.[0 , 4]
3.已知非零向量卫、
7T
B.
fi
【参考答案】
1.
B 2.D 3.A
4.解：(〔)令 p (x , y )，贝V
— (T —切-(L II) 2
J '
-丄即 y =4 (
x+1) (
4 分)
(2)存在？ -2W m< -1或m>2使得： 打，
即(x i -m ) (X 2-m ) +y i y 2=0 即
2 2
(k +i ) y i y 2-mk (y 计y 2)+m=0 ( 8 分) .-4 ( k 2+i ) -mk-4k+m 2
=0 (4m+4) k =m-4 (i0 分)
四边形ABCD 为长方形.
••• A ( 4, i ), B (i , 4), C (-4 , -i ), D( -i , -4 ), ••• . , 一一 •.一 一.
.AB// CD AD// BC AB 丄 BC 则四边形ABCD 为长方形. 【解析】
i.解：由题意得c=2 ',当P 在椭圆的短轴顶点处时， M 与0重合，|OM|取得最小值
等于0.
当P 在椭圆的长轴顶点处时， M 与F i 重合，|OM|取得最大值等于 c=2
.
参考答案
设 BC: x=ky 设 B (x i , y i ), C (X 2,，y2 y i +y 2=4k , y i y 2=-4 (6 分)
2
y
_4ky_4=0
AB 1.
若存在则
4(皿+ I) 一
? -2W m< -i 或 m>2. (i2 分) >
y
5.解：如图,
由于xy 丰0,故|OM|的取值范围是 ，
故选B .
结合椭圆的图象，当点 P 在椭圆与y 轴交点处时，点 M 与原点O 重合，此时|OM|取最小 值0;当点P 在椭圆与x 轴交点处时，点 M 与焦点F1重合，此时|OM|取最大值2 ，
由此能够得到|OM|的取值范围.
本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍.
2.
解：•••£ = ：］£,!；, I ,
=(-3 入-1，2 入)，
•••：玄；与垂直，
• ) ? =0， 即-(-3 入-1 ) =0, •••入= , 故选：D. 根据向量. 与習垂直，利用数量积的关系建立方程即可求解实数 入的值.
本题主要考查向量垂直与数量积之间的关系，要求熟练掌握向量的数量积的坐标公式， 考查学生的计算能力.
3.
解：!1,
二石亠下， 设与-的夹角为0,
7T 1J -7T 2
冷-7T||N|
- 27T * T 4-
冷亍||亓 |
•/ 0<9<n ,
• •• • 故选A.
本题主要考查了向量的数量积的性质：
向量的夹角公式、向量的模| |=
等公式的
应用，向量夹角的范围等知识的综合应用，设
与-的夹角为
(T - TTP 7?
盘 b -1T'
cos 0=
=
，结合已知可求 V 『-帀■了 4- 7f 2
n 可求.
4.
(1) 令P (x , y )，由模的坐标表示与内积的坐标表示即可得到点 (2) 设BC x=ky 设B (X i , y i ), C (X 2, y 2),将直线的方程与点 到B, C 两点的坐标与参数 k 的关系，再由： 打，得到( 立起参数m, k 的方程，由其形式作出判断求参数的取值范围，若能求出则说明存在， 否则说明不存在.
本题考查平面向量的正交分解与坐标表示，
解题的关键是由向量的坐标表示与模与内积
的坐标表示求出点 P 的轨迹方程以及利用直线与圆锥曲线的位置关系及向量的内积为 0
建立起参数的方程.本题综合性强运算量大，思维含量较大，极易因变形及运算出错， 解题时要
严谨认真. 5.
由题意画出图形，求出向量的坐标，利用向量相等及数量积为 0 得答案． 本题考查了平面向量的坐标表示，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．
—"3*
则 cos 0 = 0,则
cos 0,由 0 <0<
P 的轨迹方程. P 的轨迹方程联立得 x i -m ) (X 2-m ) +y i y 2=0,建。