故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
方法2：设广告的高为宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20， 其中x＞20，y＞25
两栏面积之和为2(x－20) ,由此得y=
#
广告的面积S=xy=x( )＝ x,
整理得S=
因为x－20＞0，所以S≥2
当且仅当 时等号成立，
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为 ，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求 和 关于 、 的表达式；当 时，求证： = ；
(2)设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大最大的综合满意度为多少
A． B． C． D．
【解析】选A.
∴
,
6、（２００８年安徽高考）设函数 则 （ ）
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
【解析】选A. ， ，由基本不等式 有最大值.
7、（2008江苏高考） 的最小值为。
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由 得 ，代入 得 ，当且仅当 时取“=”。
答案：8.
5.（2007上海高考）已知 ，且 ，则 的最大值为
【解析】 ，当且仅当x=4y= 时取等号.
答案:
A、 B、 C、 D、
【解析】选C.若 ≥ ，A不成立；若 B不成立；若 =1， =2，
则 ,所以D不成立 ,故选C.
2.（2007重庆高考）若 是1+2 与1-2 的等比中项，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】选B. 是1+2 与1-2 的等比中项，则
`
3.（2007山东高考）函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线
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【考点20】基本不等式
2009年考题
1.（2009天津高考）设 若 的最小值为（）
A 8 B 4 C 1 D
【解析】选B.因为 ，所以 ，
，
—
当且仅当 设 的最大值为（）
答案:3
8、 (2008湖北高考).如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小
【解析】方法1：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=9000.①
答案：
5.（2009湖南高考）若 ，则 的最小值为.
【解析】 ，当且仅当 时取等号.
答案：
6.（2009湖南高考）若 ，则 的最小值为.
【解析】选 ，当且仅当 时取等号.
：
答案：
7.（2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单价为 元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 和 ，则他对这两种交易的综合满意度为 .
B. D.
【解析】选C. 因为 ， （当且仅当a=b= 时等号成立）.
3.（2009重庆高考）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．2B． C．4D．5
【解析】选C. 因为 当且仅当 ，
且 ，即 时，取“=”号。
！
4.（2009湖南高考）若x∈(0, )则2tanx+tan( -x)的最小值为.
【解析】由 ，知 所以 当且仅当 时取等号，即最小值是 。
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
—
2008年考题
1、（2008四川高考）已知等比数列 中 ，则其前3项的和 的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【解析】选D.方法1：∵等比数列 中 ∴当公比为1时， ， ；
当公比为 时， ， 从而淘汰（A）（B）（C）故选D；
方法2：∵等比数列 中 ∴ ∴当公比 时， ；当公比 时， ∴ 故选D；
方法3： ．由双勾函数 的图象知， 或 ，故选D．
2、（2008重庆高考）函数 的最大值为（ ）
:
A． B． C． D．1
【解析】选B. （当且仅 ，即 时取等号）。故选B。
3、（2008浙江高考）已知 （）
A. B. C. D.
(3)记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立试说明理由。
【解析】(1)
!
当 时， ,
, =
（2）当 时，
由 ，故当 即 时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 。
（3）由（2）知： =
由 得： ，
)
令 则 ，即： 。
同理，由 得：
另一方面，
当且仅当 ，即 = 时，取等号。由（1）知 = 时h甲=h乙
上，则 的最小值为．
【解析】函数 的图象恒过定点 ，
， ， ，
（方法一）： ， （当且仅当m=n= 时等号成立）.（方法二）： （当且仅当m=n= 时等号成立）.
答案：4.
4.（2007山东高考）函数 的图象恒过定点 ,若点 在直线 上,其中 ,则 的最小值为_______.
【解析】函数 的图象恒过定点 ， ， ， ，
此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y= +25,得y＝175，
即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，
故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
>
2007年考题
1.（2007上海高考）已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是（ ）
【解析】选C.由 ,且 ∴ ，当且仅当a=b=1时等号成立∴ 。
4、（2008陕西高考）“ ”是“对任意的正数 ， ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
、
【解析】选A. ，另一方面对任意正数 ，
只要 ，所以选A.
5、（2008江西高考）若 ，则下列代数式中值最大的是（）
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
,
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m,则 =45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a= ,
所以y=225x+
(II)
.当且仅当225x= 时，等号成立.
所以不能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立。
8.（2009湖北高考）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）。
…
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2 =18500+
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b= ,代入①式得a=120，从而b=75.
即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.