① 90 ②
CL13TU16
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 P cos ， N2 P sin
两杆的临界压力分别为：
2E I
Pcr1 l12
，
2E I
Pcr 2 l22
要使P最大，只有N1、N 2 都达
到临界压力，即
P cos
2E l12
I
（1）
①
90
②
P sin
2E
l2 2
200 106 100
所以，只有压杆的长细比λ≥100时，才能应用 欧拉公式计算其临界压力。
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不 适用。在工程上，一般采用经验公式。 在 我国的设计手册和规范中给出的是直线公式和 抛物线公式。
直线公式 cr a b
式中 a、b是与材料性质有关的系数。
下面考虑经验公式的适用范围：
2EI 2EI 2EI
Pcr l 2
(2l )2 (0.7l )2
2EI
(0.5l )2
附：求二阶常系数齐次微分方程y p y q 0 的通解
特征方程为 r 2 pr q 0 ①两个不相等的实根 r1、r2 通解
y C1er1 x C2er2 x ②两个相等的实根 r1 r2 通解
CL13TU10
解：图(a)中，AD杆受压
N AD
2EI
2 P1
2
2a
P1
1 22
2EI
a2
图（b）中，AB杆受压
2EI
N AB P2 a 2
2EI
P2 a 2
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端 约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则 其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的 横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
正方形
等边角钢
槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
CL13TU15
解：(a) 杆BD受压，其余杆受拉
BD杆的临界压力:
2EI 2EI
Pcr
2 2a
解：(1)
2EI Pcr ( l)2
2E d4
64
( l)2
1 16
2E I正
(2)
Pcr 正 Pcr 圆
( l)2 2E I圆
( l)2
d2 2
a4 4
I正 I圆
12
d4
12
d4
3
64
64
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所 示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主 惯性轴转动。
分方程
E I v M(x)
在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉 公式也只有在满足胡克定律时才能适用：
cr
2E 2
p
或写成
2E p
记
p
2E p
则 欧拉公式的适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
p
2E p
2 206 109
k n P
l EI
P
n
2
k
l
2
2
2
E
IP
EI
§13-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一、压杆的临界应力
2EI Pcr (l )2
cr
Pc r A
2EI (l )2 A
2 E (i 2 A) (l )2 A
2E l 2
i
令 l
i
则
cr
2E 2
二、欧拉公式的适用范围 经验公式
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
2EI Pcr (l )2 称为长度系数
l
i
crΒιβλιοθήκη 2E 2压杆的长细比 压杆的柔度
计算压杆的临界 应力的欧拉公式
2EI
Pcr l 2
1
2EI
Pcr (2 l)2
2
2EI
Pcr (0.7 l)2
0.7
2EI
Pcr (0.5l)2
0.5
y （C1 C2 x）er1 x
③一对共轭复根 r1,2 i 通解 y e x (C1 cos x C2 sin x)
通解： v Asin kx B cos kx
边界条件：x 0时：v 0 B 0
x l 时：v 0 Asin kl 0
sin kl 0 kl n (n 0,1,2,)
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p 经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强
度问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
cr a1 b12
式中 a1、b1 也是与材料性质有关的系数，可
在有关的设计手册和规范中查到。
I
（2）
将式(2)除以式(1), 便得
tg
l1 l2
2
ctg 2
由此得 arc tg(ctg2)
① 90 ②
第十章 动载荷(Dynamic loading)
§10-1 概述 §10-2 动静法的应用 §10-3 构件受冲击时的应力和变形 §10-4 冲击韧性
l
i
CL13TU20
§13-4 压杆的稳定性计算
稳定性条件：
Pmax
Pc r [nst ]
式中 Pmax ------压杆所受最大工作载荷 Pcr ------压杆的临界压力 [nst ] ------压杆的规定稳定安全系数
稳定性条件也可以表示成： nst
Pc r Pmax
[nst ]
式中 nst 为压杆实际的工作稳定安全系数。
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
2E 2
2. 中长杆( s p ), 用经验公式
cr a b
3. 粗短杆( s ), 用强度条件
cr s
cr s cr s
p
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
例：非细长杆如果误用了欧拉公式计算临 界力，其结果比实际＿大＿，＿危＿险＿＿；横截面上 的正应力有可能＿＿超＿过＿比＿例＿极＿限＿＿。
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相 同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载 荷，则
(A) P1=P2 (C) P1>P2
(B) P1<P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
2a 2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax
Pcr
2EI
2a 2
3Ed4
128a 2
(b) 杆BD受拉，其余杆受压 四根受压杆的临界压力：
2EI
Pcr a 2 故杆系所能承受的最大载荷：
2 3Ed4
Pmax 2 Pcr 64a 2
例：图示结构，①、②两杆截面和材料相 同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的 θ角（设0<θ<π/2）。