第五章 一元一次不等式（组）基础知识归纳 （一） 一元一次不等式（组）的有关概念（二） 1.不等式：用 表示不等关系的式子，叫做不等式。

2.不等式的解：能使不等式成立的 的值，叫做不等式的解．3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的 ， 叫做这个不等式的解集．4.一元一次不等式：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元一次不等式．5.不等式组：几个含有相同未知数的 合起来，构成一个不等式组。

6.不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做不等式组的解集.（三） .（四） 不等式的基本性质（五） 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号 的方向不变。

即如果a>b ，那么a±c>b±c．（六） 性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

即如果a>b ，c>0，那么ac>bc （或 c b c a >）．（七） 性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

即如果a>b ，c<0，那么ac<bc （或c bc a < ）．（八） 一元一次不等式（组）的解法1.解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤基本相同：去分母，去 ， ，合并 ，系数化为1。

2.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b >⎧⎨>⎩的解集是__________；x a x b <⎧⎨<⎩的解集是_________； 即“大大取大” 即“小小取小”x a x b>⎧⎨<⎩的解集是__________； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是_________. {即“大小小大取中间” 即“大大小小是空集”（九） 一元一次不等式（组）的应用列一元一次不等式（组）解决问题的方法步骤与列方程（组）解应用题类似，不同的是，列不等式（组）解应用题寻求的是 关系，列出的是 式。

（十） 一元一次不等式与一元一次方程、一次函数当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。

考点呈现 考点一 不等式的基本性质例1（2011四川凉山州）下列不等式变形正确的是（ ）|A ．由a b >，得ac bc >B ．由a b >，得22a b ->-C ．由a b >，得a b ->-D ．由a b >，得22a b -<-【方法指导】将不等式正确变形的关键是牢记不等式的三条基本性质，不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时，要对字母进行讨论。

答案B【对应训练】（2011•淄博）若a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）A 、a-3＜b-3B 、-2a ＞-2bC 、44b a < D 、 a ＞b-1 考点二 解一元一次不等式（组）例2（2011山东省潍坊）不等式组1124223122x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是( )]【思路分析】先分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来，再找出符合条件的选项即可． 解：1124(1)2231(2)22x x x x ⎧+-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＞≤，由①得，x ＞-3， 由②得，x≤1， 故原不等式组的解集为：-3＜x≤1，在数轴上表示为： 故选A ．【方法指导】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，在解答此类问题时要注意实心圆点与空心圆点的区别．【对应训练】1、不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（ ）个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个2、解不等式组523132x x x +⎧⎪+⎨⎪⎩≥＞，并写出不等式组的整数解． 》考点三 根据一元一次不等式（组）的解集求字母系数例3（2011•眉山）关于x 的不等式3x-a≤0，只有两个正整数解，则a 的取值范围是 。

【思路分析】：解不等式得x≤3a ，由于只有两个正整数解，即1，2， 故可判断3a 的取值范围，求出a 的取值范围． 解：解原不等式得x≤3a ， ∵解集中只有两个正整数解，则这两个正整数解是1、2，如图，∴2≤3a ＜3， 解得6≤a＜9．【方法指导】：数形结合是一种重要的解题思想方法，我们可以利用数轴来确定不等式组的特殊解，也可以利用数轴逆向求解字母系数。

(【对应训练】 (2011•威海市)11．如果不等式组()2131x x x m --⎧⎪⎨⎪⎩＞＜的解集是2x ＜，那么m 的取值范围是A ．m=2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≥2考点四 列一元一次不等式（组）解实际问题例4 ：某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，下图是y1， y2关于x 的函数图象.试问怎样租车较合算关于不等式与一次函数综合应用题（择优问题）解答：（1）由图可知当y1=y2，，租两家车的费用相同；当y1＞y2，时，即租用国营的车合算；132当y1＜y2，时，即租用个体户的车合算．【点评：主要考查了一次函数的实际运用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，要理解交点坐标和直线的上下关系在实际问题中的具体含义．例4（2011重庆市潼南）潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A 、B 两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：种植户 种植A 类蔬菜面积（单位：亩） 种植B 类蔬菜面积（单位：亩） 总收入 （单位：元）甲 、 31 12500 乙23 16500说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．、⑴ 求A 、Ｂ两类蔬菜每亩平均收入各是多少元⑵ 某种植户准备租20亩地用来种植A 、Ｂ两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植Ａ类蔬菜的面积多于种植Ｂ类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案.【思路分析】（1）根据等量关系：甲种植户总收入为12500元，乙种植户总收入为16500元，列出方程组求解即可；（2）根据总收入不低于63000元，种植Ａ类蔬菜的面积多于种植Ｂ类蔬菜的面积列出不等式组求解即可。

解：(1)设A 、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是x 元，y 元．由题意得：3125002316500x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：30003500x y =⎧⎨=⎩答：A 、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元．（2）设用来种植A 类蔬菜的面积a 亩，则种植B 类蔬菜的面积为(20-a ）亩．由题意得：30003500(20)6300020a a a a +-≥⎧⎨-⎩＞ 解得：10＜a ≤14. <∵a 取整数为：11、12、13、14.∴租地方案为：）【方法指导】列方程组解应用题，关键是找相等关系；列不等式解应用题，关键是抓住类别 种植面积 单位：（亩） A 11 12 13 14： B9 8 7 6题目中的“大于、小于、不大于、不小于、超过、不足、最多、最少”等一些表示不等关系的“关键词”，找出不等关系。

【对应训练】（2011山东枣庄）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．（1）符合题意的组建方案有几种请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元误区点拨易错点1：在去分母时，常数项漏乘．!例1 解不等式组⎩⎨⎧2x －3＜1， ①x －12＋2≥－x ． ②错解：由①，得x ＜2． 由②，得x －1＋2≥－2x ．于是有x ≥－13， 所以原不等式组的解集为2＞x ≥－13． 错因剖析：解一元一次不等式组，需要先求出每个不等式的解集，再找出它们解集的公共部分．对不等式进行变形时，一定要要同解变形，不然就会出错．本例的解答，在去分母时漏乘了中间的一项．此外，还要注意在表示“大小小大取中间”这类不等式的解集时，一般用“＜”连接．正确解答：由①，得x ＜2．由②，得x －1＋4≥－2x ．于是有x ≥－1，所以原不等式组的解集为－1≤x ＜2．》易错点2：忽视不等式两边所乘（或除以）数的符号，导致不等号方向出错．例2 解关于x 的不等式（12－a ）x ＞1－2a ． 错解：去分母，得(1－2a)x ＞2(1－2a)．不等式两边同时除以（1－2a ），得x ＞2．错因剖析：在利用不等式的基本性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母式子的符号．本例中，不等式两边同乘(或除以)的(1－2a)，取值未定，所以出错．正确解答：去分母，得(1－2a)x ＞2(1－2a)．（1）当1－2a ＞0时，即a ＜12时，x ＞2； （2）当1－2a ＝0时，即a ＝12时，不等式无解； !（3）当1－2a ＜0时，即a ＞12时，x ＜2． 易错点3：确定待定字母取值范围时易漏特殊情况．例3、 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧5－2x ≥－1，x －a ＞0，无解，则a 的取值范围是_ __ _ _． 错解：由⎩⎨⎧5－2x ≥－1，x －a ＞0，得⎩⎨⎧x ≤3，x ＞a ．又因为不等式组无解，所以a 的取值范围是a ＞3．错因剖析：本题主要考查运用逆向思维解含有待定字母的一元一次不等式组．确定不等式组的解集的基本规律是“大大取大，小小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”，但当已知不等式组的解集，求不等式中待定字母取值范围时，则不能完全套用此规律，还应考虑特例，本题当a ＝3，即{33≤>x x 时，此不等式组也是无解的．因此，本题错在没有考虑待定字母取值范围的特殊情况．正确解答：由⎩⎨⎧5－2x ≥－1，x －a ＞0得⎩⎨⎧x ≤3，x ＞a ．又因为不等式组无解，所以a 的取值范围是a ≥3．}总之，对于解一元一次不等式（组）问题，一定要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉易错点，牢固掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解答误区．方法指导方法1：特殊值法例1、若a ＜b ＜0，那么下列各式成立的是（ ）A 、b a 11<B 、ab ＜0C 、1<b aD 、1>ba 分析：利用不等式基本性质直接解答有时费时费力，又因为答案在一般情况下成立，当然特殊情况也成立，因此采用特殊值法。