中学数学竞赛中常用的几个重要定理数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F且D 、E 、F 三点共线，则FBAFEA CE DC BD ••=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且满足FBAFEA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线.【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P.证明：△MPQ ∽△ABCj MQGAC BXY P【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，过M作AD的平行线分别交AB，CD于点E，F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点.求证：∠OPF=∠OEP【练习2】在△ABC中，∠A=900，点D在AC上，点E在BD 上，AE的延长线交BC于F.若BE：ED=2AC：DC，则∠ADB=∠FDCD塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M ，则1=••PACPNC BN MB AM塞瓦定理的逆定理： 设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且满足1=••PACPNC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点.【例1】B E 是△ABC 的中线，G 在BE 上，分别延长AG ，CG 交BC ，AB 于点D ，F ，过D 作DN ∥CG 交BG 于N ，△DGL 及△FGM 是正三角形.求证：△LMN 为正三角形.【例2】在△ABC 中，D 是BC 上的点DC BD =31，E 是AC 中点.AD 与BE 交于O ，CO 交AB 于F求四边形BDOF 的面积与△ABC 的面积的比【练习1】设P 为△ABC 内一点，使∠BPA=∠CPA ，G是线段AP 上的一点，直线BG ，CG 分别交边AC ，AB 于E ，F.求证：∠BPF=∠CPECCC【练习2】在△ABC中，∠ABC和∠ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点，且AD 平分∠BAC，过点D作垂线DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，CP于BQ相交于K. 求证：AK⊥BC托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则有AB·CD+AD·BC=AC·BDKACPQ【例1】 已知在△ABC 中，AB >AC ，∠A 的一个外角的平分线交△ABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F.求证：2AF=AB -AC【例2】经过∠XOY 的平分线上的一点A ，任作一直线与OX 及OY 分别相交于P ，Q.求证：OP 1+OQ1为定值【例3】 解方程42-x+12-x=x 7【练习1】 设AF 为⊙O1与⊙O2的公共弦，点B ，C 分别在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC ，∠BAF ，∠CAF 的平分线交⊙O1，⊙O2于点D ，E. 求证：DE ⊥AF【练习2】⊙O 为正△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，在弧BC 上任取一点P （与B ，C 不重合）.设E ，F 分别为△PAB ，△PAC 的内心.证明：PD=∣PE-PF ∣西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线.FAO1O2BCDE CBEFP【例1】过正△ABC 外接圆的弧AC 上点P 作PD ⊥直线AB 于D,作PE ⊥AC 于E,作PF ⊥BC 于F.求证：PF 1+PD 1=PE1【练习1】设P 为△ABC 外接圆周上任一点，P 点关于边BC ，AC 所在的直线的对称点分别为P 1，P 2.求证：直线P 1P 2经过△ABC 的垂心.P1三角形的五心内心【例1】设点M 是△ABC 的BC 边的中点，I 是其内心，AH 是BC 边上的高，E 为直线IM 与AH 的交点.求证：AE 等于内切圆半径r【例2】在△ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线AD 交△ABC 的外接圆于K.O ，I 分别为△ABC 的外心，内心.求证：OI ⊥AK【练习】 在△ABC 中，∠BAC=300，∠ABC=700，M 为形内一点，∠MAB=∠MCA=200求∠MBA 的度数.B外心【例1】锐角△ABC的外心为O，线段OA，BC的中点为M，N，∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN.求∠OMN【例2】在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD.【练习】1、⊙O 1与⊙O 2相交于P ，Q ，⊙O 1的弦PA 与⊙O 2相切，⊙O 2的弦PB 与⊙O 1相切.设△PAB 的外心为O ，求证：OQ ⊥PQ重心【例1】在△ABC 中，G 为重心，P 是形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于F ，E ，D.求证：FG FP +EG EP +DGDP=3【例2】已知△ABC 的重心G 和内心I 的连线GI ∥BC ，求证：AB+AC=2BC【练习】1、设M 为△ABC 的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求△ABC 的面积.2、设O 是△ABC 的外心，AB=AC ，D 是AB 的中点，G 是△ACD 的重心，求证：OG ⊥CDCBCB垂心三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍.【例1】△ABC 的外接圆为⊙O ，∠C=600，M 是弧AB 的中点，H 是△ABC 的垂心.求证：OM ⊥OH【例2】已知AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高，过D 作EF 的平行线RQ ，RQ 分别交AB 和AC 于R ，Q ，P 为EF 与CB 的延长线的交点.证明：△PQR 的外接圆通过BC 的中点M.C旁心【例1】在锐角∠XAY 内部取一点，使得∠ABC=∠XBD ，∠ACB=∠YCD.证明：△ABC 的外心在线段AD 上.【例2】AD 是直角△ABC 斜边BC 上的高（AB<AC ），I 1，I 2分别是△ABD ，△ACD 的内心，△A I 1 I 2的外接圆⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，直线FE 与CB 的延长线交于点M. 证明：I 1，I 2分别是△ODM 的内心与旁心.D相交两圆的性质与应用【例1】证明：若凸五边形ABCDE 中，∠ABC=∠ADE ，∠AEC=∠ADB. 证明：∠BAC=∠DAE【例2】已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B ，直线MN 垂直于AB 且分别与⊙O 1与⊙O 2交于M ，N ，P 是线段MN 的中点，Q 1，Q 2分别是⊙O 1与⊙O 2上的点，∠AO 1Q 1=∠AO 2Q 2 求证：PQ 1=PQ 2E【练习】梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB >CD ，K ，M 分别是腰AD ，CB 上的点，∠DAM=∠CBK ，求证：∠DMA=∠CKB其他的一些数学竞赛定理1、广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和.推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c 则：m a =2222221a cb -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+A2、三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有ACABDC BD =外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ，则有ACABDC BD =3、三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P4、正弦定理、在△ABC 中有R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径） 余弦定理： a 、b 、c 为△ABC 的边，则有： a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA;b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;5、欧拉定理：△ABC的外接圆圆心为O，半径为R，内切圆圆心为I，半径为r,记OI=d,则有：d2=R2-2Rr.6、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF（不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线.。