专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法、知识点1 •四边形的内角和与外角和定理：(1) 四边形的内角和等于360°; (2) 四边形的外角和等于360° . 2. 多边形的内角和与外角和定理：(1) n 边形的内角和等于(n-2)180 ° (2) 任意多边形的外角和等于 360° 3. 平行四边形的性质：4、平行四边形判定方法的选择..”■ 已知条件 选择的狎定方法i 边1. 一鲫边幘 L .... 讹⑵沁⑶ 一组对边平行 定文｛方法1),方送⑶一纽对命相等方法《5〉方搓⑷5、和平行四边形有关的辅助线作法(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 勺对角线AC 的中点，四边形OCD 是平行四边形• 求证：OE 与AD 互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求 证的结论中和平行四边形的性质有关， 可 试通过添加辅助线构造平行四边形—:性质四边形ABCD 是平行四边形判定(1) 两组对边分别平行;(2) 两组对边分别相等; (3) 两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分； (5) 邻角互补.B CC(2)利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF ED//AC, FG//AC交BC分别为D, G.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问(3)利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知AD S^ ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法•(4)连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例4、如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE CF ,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段, 猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)C CA(5)平移对角线，把平行四边形转化为梯形例5、如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC 12，BD 10，AB m，那么m的取值范围是(11 B 、2 m 22C、10 m 12(6)过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例6、已知：如图，四边形ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2F(7)延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形 例7、已知：如右上图4，在正方形ABCD 中, 于P 点，求证：AP AB、课堂练习:1、如图，E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，AC 与DE 相交于点F ,若平行四边形ABCD的面积为S ，则图中面积为Is 的三角形有(2A. 1个 B . 2个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 _______________ 四边形.3、如图，AD ，BC 垂直相交于点 O , AB // CD ， 贝U AB+CD 的长= _________ 。
4、已知等边三角形 ABC 的边长为a ，P 是厶ABC 内一点，PD// AB PE// BC ，PF // AC,点D E 、F 分别在 BC 、AC AB 上，猜想：PM PE+PF= ______ 猜想.5、平行四边形ABCD 中, E,G,F,H 分别是四条边上的点，且 AE CF ,BC DH ,BC=8，并证明你的K试说明：EF与GH相互平分.6如图，平行四边形ABCD勺对角线AC和BD 交于O, E、F分别为OB 0D的中点，过0 任作一直线分别交AB CD于G、H.试说明：GF// EH7、如图，已知AB AC , B是AD的中点,试说明：CD 2CE8、如图，E是梯形ABCD要DC的中点.试说明: S ABE 1 S梯形2 ABCD DE9、已知六边形ABCDEF勺6 个内角均为120°, CD= 2cm, BC= 8cm, AB= 8cm, AF=5cm 试求此六边形的周长.D_10、已知ABC是等腰三角形，AB=AC D是BC边上的任一点，且DE ABDF AC,CH AB，垂足分别为E、F、H,求证：DE DF CH11、已知：在Rt ABC中，AB BC ;在Rt ADE中，AD DE ;连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM .（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM DM 且BM DM ;（2）如果将图8-①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.图①图-②答案：例4、⑴ 连结BF⑵BF DE⑶证明：连结DB,DF ,设DB,AC 交于点0•••四边形ABCD 为平行四边形 ••• A0 OC, DO OB ••• AE FC••• A0 AE OC FC 即 OE OF•••四边形EBFD 为平行四边形 ••• BFDE例5、解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得DB CE, DC BE,则有四边形CDBE 为平行四边形,■••在ACE中, AC 12,CE BD 10,AE 2AB 2m- • 12 10 2m12 10,即 22m 22 解得1 m 11故选A例6、证明：过代D 分别作AEBC 于点 E , DFBC 的延长线于点F••• AC 2 AE 2 CE 2 AB 2BE 2 (BCBE)2 AB 2 BC 2 2BEBC BD 22 2DF 2BF 2(CD 2 22 CF 2) (BCCF) 2CD 2 BC 2 2BCCF边形具有对边平行的性质可得 GF // EH .贝U AC 2 BD 2 AB 2 BC 2 CD 2 DA 2 2BC CF 2BC BE四边形ABCD 为平行四边形 ••• AB // CD 且 AB CD , AD BCABC DCF I AEBDFC 900ABEDCF•• BE CFAC 22 2 2 2BD AB BC CDDA 2例7、证明：延长CF 交BA 的延长线于点K•••四边形ABCD 为正方形••• AB // CD 且 AB CD, CD )AD , BAD BCD D 900••• 1K又，D DAK 90°, DF AF ••• CDF 也 KAF••• AK CDAB--1 CE -CD DF2 ，1AD2••• CE DFT BCD D 900••• BCE 也 CDF••• 1 2T 13 90023 900• •• CPB900,则 KPB900••• AP AB二、课堂练习1、C2 平行 3、10 4 、a5、分析：观察图形，EF 与 HG 为四边形HEGF 的对角线,若能说明四边形 HEGF 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到6分析：观察图形，GF 与EH 为四边形GEHF 的对边，若能说明四边形 EHFG 是平行 四边形，平行四EF 与GH 相AH7、分析：延长CE 至F ,使EF = CE ，连结AF 、BF ,得四边形AFBC 是平行四边形，利 用平行四边形••• DF = CG的性质证明△ DBCFBC 即可8、分析：过点E 作MN // AB ，交BC 于N ，交AD 的延长线于M ，则四边形ABNM 是平 行四边形,△ ABE 与四边形ABNM 等底等高，所以S MBE =2S 梯形ABCD = S 平行四边形ABNM 即可。
9、■:, 1=120% /..|u 打監 -4=_7=_S=(.^T 椎导出 ACBH 都是正三pa-GA=FA=5R -O 他片 CD-DH-CH^2r ^H=60°. 丁 B+ AEH^GA, , G+ F=lfiO D J AC ；F/rRH阂此’平和回勉龙.GB=GA+AB=5-H=13, BH=BC-H?H=«+2=10. 四边JfeCBHE 的冏氏円心+讥沁="10、 证明：过D 点作DG 丄CH 于G又DE 丄AB 于E ，CH 丄AB 于H •••四边形DGHE 为矩形•••/ B = / GDC 又 AB = AC •••/ GDC = / ACB又/ DGC = / DFC = 90°••• DE = GHEH // DG•••/ B = / ACBCD = DC (公共边)D平行四边形ABNM，接下来说明又CH = CG + GH•••CH = DF + DG （等量代换）11、-：■..；■ : 一一八-一-_二占】二—亠一一—I. 1 I ■1- I ■・,冒" ■* LT !>・… I r 厂# r - '•・1 1晁魅瘵,更聊?湍讥瑕片7；臨 E^d=- E爲.*.:班彷磁1 ,；鸞W^J4C I；•■: jifBME 的外痈；仁疋日曙细◎上if®畫纠已同理^0ME-./WC+^H（D=2ZMCL>■:漬谢聡血迦必区癖询对就P）老總I；密r絶“跳谕嘛也訶備i讷⑵如图-廷长DM到阳使NN-LH逹结BJh BN，OtEI^CK , ZEM1J=ZC HK , IrfrUll<\AEMDW.^CMH/KCM=^ECM+ZECN 2 a-EH=AiD ,衽 A ABC 4 “ ；创AB十ZTEEAWF.'.^ACEl ^CAD+ZCED^.D,TETAD坯尸-2BAI 2DEM- ZNCH- ZECM+ ZBCWr-ZCED…2AUEt4t）* —ZBA£rb上兮LU十ZECNzya''又_ZACKtZBCM=4r、二4驚-ZEADt 4孙十匹ECN亨『■\2B AD=ZECU x-又辰足，皿CN /-^ABD^iCBN -■-ED-BN ZABD^2ZB®.■- ZEBC+ZCBN= ZDfi匚+£A3D=g（T $ 丈:RI>=EN. LM=W.'；mMHDM 且EM丄114：平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2 ）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。