均值不等式题型汇总
均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。

1.设*,,1,a b R a b 求证：1125()()4
a b a b 2.设,,(0,),a b c 求证：2222222()
a b b c a c a b c 3.设,,(0,),a b c 求证：222
b c a a b c
a b c 4.设,,(0,),a b c 求证：222a b c ab bc ac
5.已知实数,,x y z 满足：2221x y z ，求xy yz 得最大值。

6.已知正实数,,a b c ，且1abc 求证：1818189
a b c
7.（2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：2222111()63a b c a b c ，
并确定,,a b c 为何值时，等号成立。

类型二：求最值：
利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。

使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。

1.设11
,(0,)1x y x y 且，求x y 的最小值。

2.设,(0,)1x y x y 且，求11
2x y 的最小值。

3.已知,a b 为正实数，且1a b 求1
ab ab 的最小值。

4.求函数11
(01)1y x x x 的最小值。

变式：求函数291
(0)122y x x x 的最小值。

5.设,(0,)x y ，35x y xy ，求34x y 的最小值。

6.设,(0,)x y ，6x y xy 求x y 的最小值。

7.设,(0,)x y ，6x y xy 求xy 的最大值。

8.（2010浙江高考）设,x y 为实数，若2241x y xy ，求
2x y 的最大值。

9.求函数216y x x 的最大值。

变式：152y x x 的最大值和最小值。

10.设0x 求函数21
x x y x 的最小值。

11.设设1x 求函数21
1
x x y x 的最小值。

12.（2010山东高考）若任意0x ，231x
a x x 恒成立，求a 的取值范围.
13.求函数22233(1)22x
x y x x x 的最大值。

类型三、应用题
1.（2009湖北）围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为
2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为
45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为
x （单位：m ）。

（1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。

（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。

并求出最小总费用。

2.（2008广东）某单位用
2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。

经测算，如果将楼房建为
x 层（10x ），则每平方米的平均建筑费用为56048x （单位：元）。

为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，
该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，
平均购地费用=购地总费用建筑总面积）
附加题：
若正数,,a b c 满足1a b c ，那么222111()()()a b c a b c 的最小值为。