线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1、设n 阶方阵A B 与等价，则必有 （ ） (A) 当(0)A a a B a =≠=时， (B) 当(0)A a a B a =≠=-时， (C) 当0A B ≠=0时， (D) 当00A B ==时，2、设,A B 为同阶可逆矩阵，则 （ ） (A) 矩阵A 与B 等价 (B) 矩阵A 与B 相似 (C) 矩阵A 与B 合同 (D) 矩阵A 与B 可交换3、向量组Ⅰ：12,,,r ααα；可由向量组Ⅱ：12,,,s βββ线性表示，则（ ）(A) 当r s <时，向量组Ⅱ必线性相关 (B) 当r s >时，向量组Ⅰ必线性相关 (C) 当r s <时，向量组Ⅰ必线性相关 (D) 当r s >时，向量组Ⅱ必线性相关4、已知1β和2β是非奇次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应导出组的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解（一般解）为（ ） (A) 1211212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββαββ-+++(C) 1211212()2k k ββααα++-+ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+5、若方阵110101011C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则C 的特征值为 （ ）(A) 1，0，1 (B) 1，1，2 (C) -1，1，2 （D ）-1，1，1 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1、已知12αα，为2维列向量，矩阵121212(2,),(,)A B αααααα=+-=，若行列式6,A B =-=则 。

2、设3阶方阵500012,011A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭则A 的逆矩阵1A -= 。

3、设210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中A *为A 的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵，则B 的行列式B = 。

4、设A 是3⨯5阶矩阵，A 的秩()2r A =，而101020103B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()r BA = 。

5、已知四阶行列式中第二列元素依次为1，2，3，4，其对应的余子式依次为4，3，2，1，则该行列式的值为 。

6、设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，三维列向量11a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知A αα与线性相关，则a = 。

7、设四阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 为四阶单位矩阵，则行列式B E -= 。

8、如果10阶方阵A 的各行元素之和均为0，且()9r A =，则线性方程组0Ax =的通解为 。

9、若方阵A 与对角阵相似，且0m A =，（m 为自然数），则A = 。

10、若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的所属区间为 。

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1、解方程11111111011111111x x x x ---+-=--+--2、求向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余的向量。

其中12(2,7,1,4)T αα==---T（1，4，0，2），，3(1,4,1,3)T α=- 45(2,5,1,0)T αα==T（-4,-4,3,1），。

3、设11123512536A λ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的秩。

4、求矩阵X ，使2XA XB C =+。

其中249657532A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，114232101B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，123231C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。

四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）1、已知向量12321511253,,,3312641113βααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，判断向量β能否由向量组123,,ααα线性表示，若能，写出它的一般表示方式；若不能，请说明理由。

2、设181411112A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）计算二次型T X AX ，写出该二次型所对应的矩阵；（2）将二次型T X AX 化为标准形，写出所用的可逆线性变换及变换矩阵。

3、设124522,4214A x B y --⎛⎫⎛⎫⎪⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，如果,A B 相似，求 （1）,x y 的值（2）相应的正交矩阵1,P P AP B -=使。

五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1、设A 为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，且2240A A E --=。

试证：3A E -可逆，并求1(3)A E --。

2、若向量组1234,,,αααα线性无关，向量组12233441,,,αααααααα++++是否线性相关？说明其理由。

线性代数 课程试卷（A ）一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1. 行列式x010x 4x13 的展开式中，2x 的系数为 （ ）(A) -1 (B) 2 (C) 3 (D) 42．设,A B 为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则 （ ） (A) n B r A r ≤+)()( (B) 0)(,)(==B r n A r (C) n B r A r <+)()( (D) n B r A r >+)()( 3．向量组12,,,s ααα线性无关的充要条件是 （ ）(A) 向量组12,,,s ααα不含零向量 (B) 向量组12,,,s ααα中任意两个线性无关(C) 向量1α不能由向量组23,,,s ααα 线性表出(D)任一组不全为零的数12,,,s k k k ，都使11220s s k k k ααα+++≠4．已知四阶方阵A 有特征值0，1，2，3，则方程组0AX=的基础解系所含解向量个数为 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45．n 阶对称阵A 为正定矩阵的充分必要条件是 （ ） (A) 0A > (B) A 等价于单位矩阵E (C) A 的特征值都大于0 （D ） 存在n 阶矩阵C ，使T A C C =二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。

2．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。

3．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。

4．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。

5．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。

6．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是 。

7．设矩阵A 的特征多项式为2(1)(2)E A λλλ-=-+，则行列式123A A E -*+-= 。

8．如果n 阶方阵A 的各行元素之和均为2，则矩阵A 必有特征值 。

9．设123123123a a a A b b b c c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正交矩阵，则其逆矩阵1A -= 。

10．二次型22212312312(,,)22f x x x x x x x x =+++的正惯性指数为 。

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1．计算n 阶行列式：1000111000011000001000011nD =2.设1200010000220012A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, (1)用初等变换法求1A -；（2）将1A -表示为初等矩阵之积。

3．设301130113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，110110B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足2AX X B -=，求X 。

4．化二次型22123131323(,,)222f x x x x x x x x x =++-为标准形，并写出可逆的线性变换。

四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）1．当a 为何值时，方程组12345234512345123453230226315433x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a+++-=⎧⎪+++=⎪⎨++++=⎪⎪+++-=⎩ 有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解。

2. 判别向量组12(3,0,7,14)Tββ==T（1,2,5,2），能否由向量组12(2,1,5,6)T αα==T（1，-1，0，4），，3(1,1,2,0)T α=-- 线性表出，并求向量组12312,,,,αααββ的一个极大无关组。

3．设422242224A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求正交矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵，并写出相应的对角阵。

五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1．设n 阶方阵A 有不同的特征值12,λλ，相应的特征向量分别是12,αα，证明：当12,k k 全不为零时，线性组合1122k k αα+不是A 的特征向量。

2. 设n 维列向量组12,,,s ααα线性相关，A 为n 阶方阵，证明：向量组12,,,s A A A ααα线性相关。

附：《线性代数》（A 卷）答案要点及评分标准一．选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．A ； 5．C .二．填空题（共10小题，每题2分，共计20分）1．负号； 2．1； 3．0； 4．010100001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，或(1,2)E -； 5．唯一解（或只有零解）； 6．线性相关； 7．-27； 8．2； 9．111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； 10．3.三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分） 1、解：按照第一行展开得到11100011001111(1)1(1)001000011011120n n n D n n ++=+-=+-⎧=⎨⎩， 为奇数， 为偶数………8分2、解：（1）1200100001000100()0022001000121AE ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭………2分→1200100001000100100110002100010012⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭→10001200010001000010001110001012-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所以 112000100001110012A --⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭………5分 （2）11(1,2(2))(3,4(1))(4,3(1))(3())2A E E E E -=--- ………8分3、解：方法一：由2AX X B -=, 得到(2)A E X B -=， ……2分101100(2,)110010111001A E E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭→100111010101001011⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭……5分 所以，2A E -可逆，1(2)X A E B -=-=222111⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭. ……8分方法二：由2AX X B -=, 得到(2)A E X B -=， ……2分 用初等行变换求X10111(2,)1100111110A E B -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭→100220102100111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ ……6分 所以，2A E -可逆， 1(2)X A E B -=-=222111⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭. ……8分4、 f =22131323222x x x x x x ++- =22213232()()x x x x x ++-- ………6分令 11322332y x x y x x y x=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即可逆线性变换为112323332x y y y x y x y y=+-⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ………8分四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分） 1、解：由(,)r A b =32113001226311111154331a -⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭→⋅⋅⋅→111111012263000002000a ⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭方程组有无穷多组解，所以()(,)2r A r A b ==，故2a = ……4分(,)r A b →101152012263000000000----⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭原方程组等价于方程组 13452345253226x x x x x x x x =-+++⎧⎨=---⎩ 取3450x x x ===，得到特解(2,3,0,0,0)T η=- ……7分令3451000,1,0001x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为1(1,2,1,0,0)T ξ=-，2(1,2,0,1,0)T ξ=-，3(5,6,0,0,1)T ξ=- 方程组的全部解为112233x k k k ηξξξ=+++ 其中123,,k k k 为任意常数……10分2、解：初等行变换矩阵12312(,,,,)αααββ到行最简梯矩阵为123121211311120(,,,,)05257460214αααββ⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭→ 1001201011001010000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭……6分可得到12,ββ能由123,,ααα线性表示，且1122123,2βααβααα=-+=+-向量组12312,,,,αααββ的一个极大无关组为123,,ααα ……10分 3、解：2422242(8)(2)224E A λλλλλλ----=---=----- ………4分得到矩阵A 的全部特征值为1232,8λλλ=== 当122λλ==时，由(2)0E A x -=得一个基础解系12(1,1,0),(1,0,1)T T ξξ=-=-正交化,单位化1(T β=，2(Tβ= …7分当38λ=时，由(8)0E A x -=的一个基础解 3(1,1,1)T ξ=将其单位化得3Tβ= ………9分则正交阵123(,,)03P βββ⎛⎫⎪ == ⎝，1P AP B -=使， 相应的对角阵为 200020008⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭……10分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1、证明： 112211221122()A k k Ak Ak k A k A αααααα+=+=+因为 111222,A A αλααλα==1122111222()A k k k k ααλαλα+=+ 而12λλ≠所以 1122k k αα+不是A 的特征向量. ………4分 2、证明：由12,,,s ααα线性相关，根据定义，存在不全为0的12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=，用矩阵A 左乘等号两边得到 112211220s s s s Ak Ak Ak k A k A k A αααααα+++=+++=i k 不全为0，根据线性相关的定义得到向量组1122,,,s s k k k ααα线性相关. ………4分。