思维导图判定公理1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4.有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5.直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL 或“斜边,直角边”)SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例:直角三角形为HL,属于SSA),这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side)。
H是英文斜边的缩写(Hypotenuse),L是英文直角边的缩写(leg)。
6.三条中线(或高、角平分线)分别对应相等的两个三角形全等全等。
证明:以AB为直径作圆O。
在圆O的上面一点C,C不与A或B重合。
则三角形ABC是直三角形,以AB为斜边,面积与三角形ABC相等的直角三角形可画出四个(包括三角形ABC),这四个三角形直角顶点可这样画取:设点C到直线AB的距离为n,画两条与AB的距离为n的平行线,这两平行线与圆O的交点为C、D、E、F,则三角形ABC、ABD、ABE、ABF是符合面积相等斜边也相等的四个直角三角形。
试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,从作图可知这四个直角三角形有一条直角边相等。
因为它们是夹在平行弦的弧上的弦。
又它们的斜边相等,所以它们全等,除了这四个以外,再不能找到其它符合条件的直角三角形。
试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,知识梳理——数与式试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,知识梳理——锐角三角比试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,知识梳理——函数试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,知识梳理——四边形试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,试题如图,在Rt△ABC中,已知:∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2.考点:旋转的性质;直角三角形全等的判定.分析:根据已知及勾股定理求得DP的长,再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD,从而根据直角三角形的性质求得GH,BG的长,从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积.解答:解:在直角△DPB中,BP=AP=AC=3,∵∠A=60°,∴DP2+BP2=BD2,∴x2+32=(2x)2,∴DP=x=,∵B′P=BP,∠B=∠B′,∠B′PH=∠BPD=90°,∴△B′PH≌△BPD,∴PH=PD=,∵在直角△BGH中,BH=3+,。