第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数一、随机变量随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。
要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。
很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。
例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。
这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。
为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。
比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。
这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。
建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。
如果与样本空间{}{H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。
因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是1,当HX X()0,当T由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称X()X(ω)为随机变量。
例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。
这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。
我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间{t|t0}上的函数X X(t)t,t因此X也是一个随机变量。
一般地有定义2-1 设为一个随机试验的样本空间，如果对于中的每一个元素，都有一个实数X()与之相对应，则称X为随机变量。
一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。
通常，对于任意实数集合L,X在L上的取值，记为{X L}，它表示事件{|X()L}，即{X L}{|X()L}。
例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。
设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。
显然，X的取值为0，1，2，3。
X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。
表2-1表2-1从上表中可以看出，事件｛X＝0｝＝｛TTT｝，｛X＝1｝＝｛HTT，THT，TTH｝，｛X＝2｝＝｛HHT，HTH，THH｝，｛X＝3｝＝｛HHH｝，由古典概型的概率计算公式得P{X=0}=1/8,P{X=0}=1/8,P{X=1}=3/8,P{X=3}=1/8。
例2-4 设一袋中共有4个白球5个黑球，随机地摸出4球，用X表示摸出的 4球中“白球的数目”，则X是一个随机变量。
显然X的取值为0，1，2，3，4，而且{X≤3}表示摸出的4球中“最多有3个白球”的事件，{X>31}表示摸出的4球中“白球数大于3”的事件，此时当然有{X>3}={X=4}。
因此有P{X≤3}=1-P{X>3}=1-P{X=4}404= 1C4C5/C9＝125/126。
由此可见，在随机试验中引入随机变量，对随机事件的研究就可以转化为对随机变量的研究。
随机变量在试验前只能知道它的取值范围，但不能预言它取什么值，它随试验结果的不同而取不同的值；随机变量取某些值或某一区间都表示随机事件，因而具有确定的概率。
二、分布函数设X是一个随机变量，对于任一实数X，相应事件“{X≤x}”的概率P{X≤x}是存在的。
只要给出P{X≤x}的值，就可以由此计算出X在任意区间(a,b)的概率P{a<X≤b}。
这是因为事件{a<X≤b}={X≤b}-{X≤a}而且{X≤a}{X≤b}（2-1）由概率的性质知P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}的分布函数的概念。
定义2-2 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数由此可见，概率P{X≤x}成为计算任何我们感兴趣的概率的基础。
为此我们引入随机变量F(x)=P{X≤x},称为随机变量X的分布函数。
由上述定义及（2-1）式立即得到 (-∞<x<+∞) （2-2）P{a<X≤b}=F(b)-F(a)特别需要强调的是，分布函数的概念看起来很抽象，实际上它却有明确的概率意义。
分布函数F(x)是一种概率：对于任一实数x,{X≤x}是一个随机事件，而分布函数F(x)正是这一事件的概率。
换言之，F(x)表示X落入区间(-∞,x]这一事件的概率。
分布在函数F(x)具有以下性质：（1）单调性：当a≤b，则F(a)≤F(b)；（2）有界性：0≤F(x)≤1；（3）F(-∞)=limF(x)=0,F(+∞)=limF(x)=1; x→-∞x→+∞（4）F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的。
0 X x图2-1性质（1）与性质（2）显然成立，性质（4）的证明从略，性质（3）我们不作严格证明，只从几何上加以说明。
在图2-1中，若将区间(-∞,x]的端点x沿数轴无限向左移动（即x→-∞）时，则“随机变量X落入在x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即F(-∞)=0；又若将区间(-∞,x]的端点x沿数轴无限向右移动（即x→+∞），则“随机变量X落入在x左边”这一事件趋于必然事件，从而其概率趋于1，即F(+∞)=1。
有了分布函数，关于随机变量X的许多概率都能方便算出。
比如P{X=a}=F(a)-F(a-0)P{X<a}=F(a-0)P{X>a}=1-F(a)P{X≥a}=1-F(a-0)综上所述，分布函数是一种分析性质良好的函数，便于处理，而且给定了分布函数就能算出各种事件的概率。
因此引进分布函数使许多概率问题得于简化并且归结为函数的计算，这样就能利用数学分析的许多结果，这是引进随机变量的好处之一。
第二节离散型随机变量随机变量按其取值情况分为两种类型：如果随机变量所有可能的取值为有限个或可列多个，则称它为离散型随机变量；否则称它为非离散型随机变量。
在非离散型随机变量中最常见是连续型随机变量。
一、分布律研究随机变量的变化规律，不仅要知道它所有可能的取值，更重要的是掌握它取每个值的概率。
例如，若随机变量X为某射手打靶命中的环数，X的所有可能取值为0，1，2，…，10。
可是任何一个射手都可能取得这些值，如果我们还知道命中各环的概率p0,p1,p2, ,p10，那么就能全面地了解该射手的射击水平。
一般地我们有定义2-3 设离散型随机变量X所有可能的取值为x1,x2, ，而且X取各值的概率为p{X=xi}=pi,则称（2-4）式为X的分布律或概率分布。
分布律也可以用表格的形式表示如下：i=1,2, （2-4）由概率的基本性质知道，任一个离散型随机变量X的分布律具有下列基本性质：（1）非负性：Pk≥0,k=1,2,∞(2)规范性：∑pk=1k=1另外，由定义2-2可知，离散型随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x}=xk≤x∑P(X=xk)（2.5）例2-5 将一枚硬币掷三次，设X为正面出现的次数，求X的分布律及其分布函数解由于X的取值为0，1，2，3，因此X为一个离散随机变量。
由例2-3知 X 的分布律为显然，X的分布满足分布律的两个基本性质。
由（2-5）式得X的分布函数⎧0,⎪1/8,⎪⎪F(x)=⎨1/8+3/8+3/8,⎪1/8+3/8+3/8,⎪⎪⎩1/8+3/8+3/8+1/8,即x<00≤x<11≤x<2 2≤x<3x≥3⎧0,⎪1/8,⎪⎪F(x)=⎨4/8,⎪7/8,⎪⎪⎩1,x<00≤x<11≤x<2 2≤x<3x≥3图2-2从图形2-2可以看出，函数F(x)是一个单调、有界、右连续的跳跃函数，x=0,1,2,3为函数的跳跃点，其跃度为随机变量X取该点值的概率。
例2-6 一战士连续地向一目标射击，每次射中目标的概率都是p，设X为首次命中目标所需的射击次数，求X的分布律。
解因为X可能的取值为1，2，…，所以X是一个离散型随机变量。
记Ai为第i 次击中目标的事件，由于各次射击是相互独立地进行，因此有P{X=1}=P(A1)=pP{X=2}P(1,2)=(1-p)p…P(X=k)=P(12 k-1Ak)=(1-p)k-1p…从而知X的分布律为P{X=k}=qk-1p,其中q=1-p。
k=1,2,这个分布称为几何分布。
容易验证，几何分布满足分布律的两个基本性质。
总之，求离散型随机变量分布律，首先要找出它的一切可能的取值，然后计算出相应的概率。
二、常用的离散型分布下面我们介绍最常用的几种离散型分布。
（1）两点分布如果离散型随机变量X的分布律为其中0<p<1,q+p=1，则称X服从两点分布。
由于X值只取0，1，为此两点分布又称（0-1）分布。
显然，两点分布满足分布律的两个基本性质。
贝努里试验的分布律服从两点分布。
比如，掷一枚硬币出现正面的次数；从一批产品中任取一件产品的次品数；一次射击命中目标的次数等等，都服从两点分布。
（2）二项分布如果离散型随机变量X的分布律kkn-kP{X=k}=Cnpq， k=0,1, ,n其中0<p<1,q+p=1，则称X服从二项分布，记为X~b(n,p)。
显然，P{X=k}≥0,k=0,1, ，而且∑P{X=k}=∑Ck=0k=0nnknpkqn-k=1因此二项分布满足分布律的两个基本性质。
特别，当n=1时二项分布化为P{X=k}=pkq1-k， k=0,1这就是两点分布。
可见，两点分布是二项分布的特例。
比如，重复掷一枚硬币n次，出现正面的次数；n重贝努里试验的分布律服从二项分布。
从一批产品中有放回地抽取n次（每次任取一件），抽得产品的次品数；n次射击命中目标的次数等等，都服从二项分布。
（3）泊松（Poisson）分布如果离散型随机变量X的分布律P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,其中λ>0，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~p(λ)。
显然，P{X=k}≥0,k=0,1,2, ，而且∑P{X=k}=∑k=0k=0∞∞λkk!e-=1因此泊松分布满足分布律的两个基本性质。
泊松分布是一种重要的分布。
实践证明，在工业，农业，医学及公共事业中，许多随机变量都服从泊松分布。
比如，铸件表面的气孔数、电镀件表面的缺陷数、布匹上的疵点数、一段时间里纺纱机上的纱线的断头数等都服从泊松分布。
此外，放射性物质在一段时间内放射的粒子数、电话交换台在一定时间内接到电话的呼叫数、公共汽车站上一段时间内来到的乘客批数也服从泊松分布。
例2-7 对上海一公汽车站的容流进行调查，统计了某天上午10 : 30至10 : 47左右每隔20秒钟来到的乘客批数（每批可能有数人同时来到），共得230个记录。
这里分别计算了来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上乘客的记录次数，结果列于表2-2中，其相应的频率与λ=0.87的泊松分布符合得很好。
表2-2三、二项分布与泊松分布的关系虽然泊松分布本身是一种非常重要的分布，但有趣的是，历史上它却是作为二项分布的近似在1837年由法国数学家泊松（Poisson）引入的。