新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017，5】已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．32【解法】选D ．由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞U B ．(0,3][9,)+∞U C ．(0,1][4,)+∞U D ．(0,3][4,)+∞U【解法】选A ．图 1图 2解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，03tantan 6032AEB a b m∠=≥=，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，0tantan 60323AEB a m b ∠==≥9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ．解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，01cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB⋅≤-u u u r u u u ru u u r u u u r ，带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，01cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB⋅≤-u u u r u u u ru u u r u u u r ，带入向量坐标，解得9m ≥．综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ．【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．34解析：选B ． 由等面积法可得1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯，故12c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为2211612x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=054x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=001544x x +=，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ．26 C ．25 D ．1解：2c e a ====，解得a=1，故选D【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 解析：选C ．∵52e =，∴52c a =，即2254c a =．∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =．∴12b a =．∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为12y x =±．故选C ．【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF的面积为( )．A ．2B ．22C ．23D ．4 答案：C解析：利用|PF |＝242P x +=，可得x P ＝32，∴y P ＝26±．∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝23． 故选C ．【2012，4】4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2a F Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ． 【2012，10】10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||43AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2011，4】椭圆221168x y +=的离心率为（ ） A ．13 B ．12C．3 D．2【解析】选D ．因为221168x y +=中，2216,8a b ==，所以2228c a b =-=，所以42c e a ===．【2011，9】已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为（ ）． A ．18 B ．24 C ．36 D ．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为()220y px p =>，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为2p x =．代入22y px =得y p =±，即2AB p =，又12AB =，故6p =，所以抛物线的准线方程为3x =-，故1612362ABP S =⨯⨯=△．故选C ．二、填空题【2016，15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B两点，若AB =C 的面积为 ．解析：4π．由题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB===， 故2224a r +==，所以24S r =π=π．故填4π．【2015，16】已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为．解： a =1，b 2=8，⇒ c =3，∴F (3,0)．设双曲线的的左焦点为F 1，由双曲线定义知|PF |=2+|PF 1|，∴ΔAPF 的周长为|P A |+|PF |+|AF |=|P A |+|AF |+|PF 1|+2，由于|AF |是定值，只要|P A |+|PF1|最小，即A ,P ,F 1共线，∵A，F 1 (-3,0)，∴直线AF 1的方程为13x +=-，联立8x 2-y 2=8消去x 整理得y 2+y -96=0，解得y=或y =-舍去)，此时S ΔAPF =S ΔAFF 1-S ΔPFF13=⨯=．三、解答题【2017，20】设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程． 解析：第一问：【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4/211x y = ①4/222x y = ②②-①得2221122121()()44x x x x x x y y -+--==由已知条件124x x += 所以，21211y yx x -=-即直线AB 的斜率k=1．【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4/2x y b kx y整理得：,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1第二问：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =所以00011,2,12k x x y ==∴== 所以M （2,1），11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM =g 即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，,4/2⎩⎨⎧=+=x y bx y化简得0442=--b x x ，所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7【2016，20】在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OHON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由． 解析 （1）如图，由题意不妨设0t >，可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可得直线ON 的方程为y x p t =，联立方程22p x ty px y ⎧==⎪⎨⎪⎩，解得22x t p =，2y t =． 即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===．（2）由于()0,M t ，22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=， 整理得2220ty px t --=，联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22440ty y t -+=，则2216160t t ∆=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．【2015，20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点. (Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)u u u u r u u u rOM ON ⋅=12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C (2,3)到的l 距离1d =<.解得4433k -<<所以k的取值范围是44(33-. (Ⅱ)将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4(k +1)x +7=0.设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2)，则1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++所以u u u u r u u u rOM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+124(+1)8+1k k k =+=12，解得k =1=1k ，所以l 的方程为y=x +1. 故圆心在直线l 上，所以|MN |=2.【2013，21】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2， 所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝23.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得21k +＝1，解得k ＝2±. 当k ＝2时，将22y x =+代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝462-±， 所以|AB |＝21k +|x 2－x 1|＝187.当k ＝2-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187.【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。