基本函数
知识清单：
1.一元一次函数：)0(≠+=a b ax y ，当0>a 时，是 函数；当0<a 时，是 函数；
2.一元二次函数：
一般式:)0(2≠++=a c bx ax y ；对称轴方程是 ；顶点为 ；
两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是 ；与x 轴的交点为 ；
顶点式：h k x a y +-=2)(；对称轴方程是 ；顶点为 ；
⑴一元二次函数的单调性：
当0>a 时： 为增函数； 为减函数；
当0<a 时： 为增函数； 为减函数； ⑵二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为h k x a y +-=2
)(的形式，
⑶二次方程实数根的分布问题：
注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。

特别指出,分段函数也是重要的函数模型。

3.指数函数：x a y =（0,1a a >≠），定义域R ，值域为（+∞,0）.⑴①当1a >，指数函数：x a y =在定义域上为增函数；②当01a <<，指数函数：x a y =在定义域上为减函数.⑵当1a >时，x a y =的a 值越大，越靠近y 轴；当01a <<时，则相反
.
4.对数函数：如果a （0,1a a >≠）的b 次幂等于N ，就是N a b =，数b 就叫做以a 为底的N 的对数，记作b N a =log （0,1a a >≠，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数.
⑴对数运算：
log log ()log log log log log log log 1log log a a a a a
a a n a a a a N M N M N
M M N N
M n M M n
a N
⋅=+=-==⋅=①②③④⑤ 12112312log log log log log log 1log log ...log log (0,0,0,1,0,1,0,1,,,...,01)n b a b a b c a a a n a n n N N a b c a a a a a M N a a b b c c a a a -=⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=>>>≠>≠>≠>≠⑥换底公式：⑦推论：以上且
⑵x a y =（0,1a a >≠）与x y a log =互为反函数.
当1a >时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当01a <<时，则相反.
5．幂函数
（1）幂函数的定义：
（2）幂函数的性质：
所有幂函数在 上都有意义，并且图像都过点 。

（3）幂函数[)0a y x ,x ,=∈+∞，当1a >时，若01x ,<<其图像在直线y x =的下方，若1x >，其图像在直线y x =的上方；当01a <<时，若01x ,<<其图像在直线y x =的上方，当1a >时，若1x >其图像在直线y x =的下方。

幂函数图像在第一象限的特点：
课前预习
1. 当0≤x ≤1时，函数y=ax+a －1的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是
2.已知函数1)()(3
2+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是
3. 已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是
4.设函数⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=0,10,
00,1)(x x x x f ，则方程)()12(1x f x x -=+的解为 5.函数12+=-x a y (0>a ，且1≠a )的图象必经过点 6. )223
(
log 29log 2log 3777+-= 7.求函数)183(log 22
1--=x x y 的单调减区间。

8. 求下列函数的定义域、值域： ①41212-=--x y ; ②)54(log 23
1++-=x x y 9． 已知函数223n n y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并
画出函数的图象．
典型例题
1、解析式、待定系数法
例1．若()2
f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则
变式2：若()()2
23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 2、图像特征
例2：将函数()2
361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．
变式1：函数()2
f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是
3．单调性
例3：已知函数，()()2
2[2,4]g x x x x =-∈．求()g x 的单调区间及其最值． 变式1：已知函数()2
42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 4．最值
例4已知函数()2
23f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是
变式1：已知函数()22
4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．
5．奇偶性
例5：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．
变式1：若函数()()()
22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是 函数
6．值域
例6：求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：
(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2) 定义域为[]
2,1-．
变式1：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是
变式2：函数y =cos2x +sin x 的值域是__________．
7．恒成立问题
例7：当,,a b c 具有什么关系时，二次函数()2
f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于零？ 变式1：已知函数 f (x ) = l
g (a x 2 + 2x + 1) ．
(I)若函数 f (x ) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围；
(II)若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围．
8、指数函数
例8：已知下列等式，比较m ，n 的大小：（1）22m n
< (2)0.20.2m n < 变式：函数x y a =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为
9、对数函数
例9：已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠
（1） 求函数()()f x g x +定义域
（2） 判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由.
变式：已知(31)4,1()log ,1
a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨
>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 10、幂函数 例10
．已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝
⎭，，在幂函数()g x 的图象上． 问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．
分析：由幂函数的定义，先求出()f x 与()g x 的解析式，再利用图象判断即可．
实战训练
1．设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12
，则a = 2．设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为
3．设2()lg()1f x a x
=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 4．函数2lg(2)y x x =-的定义域是______．函数()()
lg 43x f x x -=-的定义域为_____
5．若函数2()lg 22f x x a x =⋅-+在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是 ． 6．=++5lg 5lg 2lg 2lg 2
7．方程96370x x -⋅-=的解是_____。