函数的对称性与周期性
2013年10月
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一、知识要点 函 数 图 象 的 对 称 性
对称轴(中心) 特征表达式
实例
xa
f(ax) f(ax) f(x) f(2ax)
y(xa)21
( a，b )
f(ax)f(ax)2b f(x)f(2ax)2b
y(xa)3b
函 数 的 周 期 性 ： f ( x T ) f ( x ) ( T 0 )
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二、基本题型与解答方法——快速、准确、熟练
1.根据解析式判断函数图象的对称性
1. 函数f(x)2x3的图像关于点 对称.
2. 函数f(x)的3定x义 1域为R，且f(12x) f(2x)，
则y f(2x)的图象关于
对称；
y f(x)的图象关于
对称.
3. f(x)是偶函数，f(x2)是奇函数，且f(0)2008，
f (2 x) f (2 x)，若f ( x) 0有51个根，求所
有这些根的和.
解题指要：利用函数的对称性解题时关键在
于考查两个函数值，周期性反映了函数值重
复出现的特性.
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6.作业
1 .已 知 f ( x )是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ，又 是 以 2为 周 期 的 周 期 函 数 ，若 f ( x )在 [ 1，0 ]上 是 减 函 数 ， 判 断 f ( x )在 [ 2，3 ]上 的 单 调 性 .
4 .如 果 函 数 f ( x ) b x 5 的 图 象 关 于 点 (1，2 )对 称 ， ax 1
求 函 数 f ( x )的 单 调 区 间 .
5 .若 函 数 f ( x ) 2 sin ( x )的 对 称 轴 和 与 它 最 近
4
的 对 称 中 心 的 距 离 为 ，. 求 该 函 数 的 值 域 . 8
重要结论：
1. 若f(x)有两条(个)对称轴(中心)xa(a，0)，xb(b，0)
(ab)，则f(x)是以2|ab|为周期的周期函数；
2. 若f(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b，0)(ab)，
则f(x)是以4|ab|为周期的周期函数；
3.若f(x)、g(x)都是周期函数，且a0，b0，
则af(x)bg(x)是周期函数..
2 .已 知 f ( x )图 象 关 于 点 ( 1，1 )对 称 ，且 x [ 3，5 ]时 f ( x ) 2 x 2 x . x [ 7， 5 ]时 ，求 f ( x )的 解 析 式 .
3 .函 数 y lo g 2 | 2 x a |的 图 象 关 于 直 线 x 3 对 称 ， 解 关 于 x的 不 等 式 x 2 ax 5 0.
解集是(a 2，b)，g( x) 0的解集是( a 2 ，b )，a 2 b，
22
2
则f ( x) g( x) 0的解集是
.
2.若
函
数
f
(
x
)
a2 2x
x b 2
( a、b
R
)的
图
象
关
于点
(1，0 )对 称 ，求 a、b满 足 的 关 系.
3.若函数f ( x)的定义域为R，且对任意x R，有
2. 已知f (x)的图象关于点(2，0)对称，x(0，1]时，
f (x) x2 1 ，求x[5，4)时，f (x)的解析式. 2x
3. 已知f (x)的图象关于点(1，2)对称，且x(0，1]
时，f (x) x2 1 ，求x[1，2)时，f (x)的解析式.
解题指要：
2x
此类问题的解法通常是在给定的区间内任取一个自变量，
6.若 函 数 y 3sin(2 x )的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， 求 的 值 .
7. 若 定 义 在 R上 的 函 数 g ( x )， 满 足 对 任 意 实 数 x都 有
g (1 x ) g (2 x )成 立 ，且 g ( x ) 0有 101个 实 数 根 ， 求所有实根之和.
关于
对称.
3. 已知y f (x)是奇函数，则y f (x1)2的图
象关于
对称.
解题指要： 函数图象经过平移后，对应的函数图象的对称
中心（或对称轴）也进行了相应的平移；
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4
3.根据函数图象的对称性求函数的解析式
1. 已知f (x)的图象关于直线x 2对称，且x(0，1]
时，f (x) x2 1 ，求x[3，4)时，f (x)的解析式. 2x
8
.若
函
数
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2s
in
(
k
x
3
)的
最
小
正
周
期
为
T
(
1， 2
5 2
)，
求 实 数 k的 取 值 范 围 .
9.函 数 y f ( x )是 定 义 在 R上 周 期 为 4的 周 期 函 数 ，
且 当 x [ 2， 2 )时 ， f ( x ) | x 3 | .
(1)求 f ( x )在 R上 的 解 析 式 ；
求f(2010)的值.
解题指要：常见函数的对称性：
1. f(x)axb(c0)的图像关于点(d，a)对称； 2. f(x)|cxxad|的图象关于xa对称；c c
3. f(x)ax2bxc(a0)的图象关于x b 对称； 4.奇(偶)函数的图象关于原 . 点(y轴)对称. 2a 3
2.平移变换后，函数图象的对称性
1. 已知函数y f (x)是偶函数，f (x2)在[0，2]上
单调递减，则
()
A. f (0) f (1) f (2) B. f (1) f (0) f (2)
C. f (1) f (2) f (0) D. f (2) f (1) f (0)
2. 已知y f (x2)是偶函数，则y f (x)的图象
1. f ( x) Asin( x )( 0)的周期为 2 ； ||
2. f ( x) Acos( x )( 0)的周期为 2 ； ||
3. f ( x) Atg( x )( 0)的周期为 ； ||
4.通常先化简后再求其周. 期.
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5.函数周期性和图象的对称性的应
用1.已知f ( x)、g( x)都是定义在R奇函数，f ( x) 0的
找到它关于点(或直线)的横坐标对称的相应的自变量，
根据函数奇偶性的定义寻找这两个自变量间的函数值的 关系，进而求得结果. 其本质. 是代入法求轨迹方程. 5
4.求函数的周期
1.y3cos(3x5)；2.y2sin2xcos(2x)
3 3.y|sin2x|； 4.y|sinx||cosx|
解题指要：常见函数的周期性：