数阵图与数字谜问题（一）知识点梳理一数阵图数阵图就是将一些数，按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵．它的类型一般分为三种：辐射型数阵图；封闭型数阵图；复合型数阵图．二、幻方幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆”．4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……三、数字谜数字谜，一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．解数字谜，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意：①数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0－9中的某个数字；②要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；③必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；④数字谜解出之后，最好验算一遍．（二）例题【例题】构造一个八阶幻方：在8×8的方阵中填入1－64，使每行每列及两条对角线上的8个数字之和都相等．横式数字谜竖式数字谜习题辐射式数阵图1、请你将1～7这七个数字填入下图的○中，使每条线段上的三个○内的数的和相等。
分析：设中心数为a，中心数在计算和的过程中用到了3次。
解答：每条边上的3数之和为k。
3k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＋2a=28＋2ak=(28＋2a)÷3当a=1时，k=30÷3=10；当a=2时，k=32÷3，有余数，舍去；…………2、将1～11这11个数字填入下图的○中，使每条线段上的三个○内的数的和相等。
解答：设中心数为a，中心数在求和过程中使用了5次。
每条边上的3数之和为k。
5k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11)＋4a=66＋4ak=(66＋4a)÷5经实验：当a=1时，k=70÷5=14；当a=6时，k=90÷5=18，当a=11时，k=110÷5=22。
答案：封闭式数阵图1、将1～8这八个数字填在下图的8个○内，使每条边上的和都相等。
解答：设顶点上的数分别为a，b，c，d，每条边上三个数的和为k。
4k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＋(a＋b＋c＋d)=36＋a＋b＋c＋dk=(36＋a＋b＋c＋d)÷4当a=1，b=2，c=3，d=4时，k=46÷4=11.5，k为整数，最小值为12。
当a=5，b=6，c=7，d=8时，k=62÷4=15.5，k最大值为15。
因此，k的值是12、13、14、15。
2、把1～9这九个数分别填在三角形三条边的9个○内，使每条边上4个○内的数的和相等。
(求出两个基本解)解答：设顶点上的数分别为a，b，c，每条边上四个数的和为k。
3k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＋(a＋b＋c)=45＋a＋b＋ck=(45＋a＋b＋c)÷3当a=1，b=2，c=3时，k=51÷3=17（最小值）当a=7，b=8，c=9时，k=69÷3=23（最大值）因此，k的值是17、18、19、20、21、22、23。
（1）当k=19时，a＋b＋c=12，a=2，b=3，c=7。
（2）当k=21时，a＋b＋c=18，a=3，b=7，c=8。
复合型数阵图横式数字谜竖式数字谜1.在下面算式的空格内,各填上一个合适的数字,使算式成立.1. 我们仍按前面所说的三个步骤进行分析.(1)审题 这是一个两位数加三位数,和为四位数的加法算式.在算式中,个位上已经给出了两个数字,并且个位上的数字相加后向十位进了1,百位上数字之和又向千位进了1.(2)选择解题突破口 由上面的分析,显然选择个位上的空格作为突破口.(3)确定各空格中的数字 ①填个位 因为所以个位上的空格应填9.②填千位 千位数字只能是百位上数字之和向前进的数,因此只能是1.③填百位 第二个加数的百位上的数字最大是9,而和是四位数,因此算式中十位上的数字之和必须向百位进1,所以第二个加数的百位上填9,和的百位上填0.④填十位 由于算式中个位上数字之和向十位进了1,十位上的数字相加后又向百位进1,所以第二个加数的十位上的空格,可以填8或9.此题有两个解:14.把下面除法算式缺少的数字补上.解 (1)设除数为ab ,商为ef cd 8.显然,d =e =0.由ab ⨯8= , ab ⨯可知c =9.同理,f =9.所以商为90809.因为ab ⨯9>99,所以ab >11.又因为ab ⨯8<100,所以ab <12.5.由于ab 是整数,因此ab =12.由逆运算可知,被除数为(12 90809=)1089708.除法算式为:9080908018016979801807980112幻方1、把1～8这8个数填入下面的□中，使每一横行、每一竖列相邻的三个数的和相等。
解答：设中心数为a ，中心数在求和过程中使用了2次。
每条边上的3数之和为k 。
3k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＋a =36＋a k=(36＋a)÷3经实验：当a=3时，k=39÷3=13; 当a=6时，k=42÷3=14。
答案：例1 将1～9九个自然数，填入下图空格内，使横、坚、斜对角每三个数的和都是15。
解：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
由三行三列数组成的幻方，称为“三阶幻方”。
制作这种幻方的方法是：把九个自然数，按照从小到大的递增次序斜排（如图一），然后把上、下两数对调，左、右两数也对调（如图二），最后再把中部四个数各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。
如果把图三制好的幻方，旋转90°、180°、270°都各成一个新的幻方。
如果画在透明纸上，反过来观察，再旋转上述角度每次所得到的幻方，也具备上述性质。
这样便可得到八个图，当然，它们并无实质上的区别。
作业辐射型数阵图1、请你将1～7这七个数分别填在○内，使每条线段上的三个数的和相等。
解答：设中心数为a，中心数在求和过程中使用了3次。
每条边上的3数之和为k。
3k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＋2a=28＋2ak=(28＋2a)÷3经实验：当a=1时，k=30÷3=10；当a=4时，k=36÷3=12，当a=7时，k=42÷3=14。
答案：封闭型数阵图2、将1～6这六个数分别填在下图的6个○中，使每条边上的三个○内的数的和相等。
思考：在这6个○内的数字中，哪几个数最关键呢？分析：三个顶点上的数在求和过程中要使用两次，只要确定了这三个数，并且知道每条边上三个数的和，另外三个数就很容易确定了。
解答：设顶点上的数分别为a，b，c，每条边上三个数的和为k。
3k=(1＋2＋3＋4＋5＋6)＋(a＋b＋c)=21＋a＋b＋ck=(21＋a＋b＋c)÷3当a=1，b=2，c=3时，k=27÷3=9（最小值）当a=4，b=5，c=6时，k=36÷3=12（最大值）因此，k的值是9、10、11、12。
（1）当k=9时，a＋b＋c=6，a=1，b=2，c=3。
（2）当k=10时，a＋b＋c=9，a=1，b=3，c=5。
（3）当k=11时，a＋b＋c=12，a=2，b=4，c=6。
（4）当k=12时，a＋b＋c=15，a=4，b=5，c=6。
幻方横式数字谜.由3个不同数字能组成6个互异的三位数，这6个三位数的和是2886．求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【分析与解】设满足条件的最小三位数为abc，则由a、b、c组成的其他5个三位数为：acb、bac、bca、cab、cba，于是这6个数的和为abc＋acb+bac+bca+cab+cba=222(a+b+c)=2886，所以a+6+c=13，于是最小的abc为139．所以所有这样的6个三位数中最小的三位数是139．竖式数字谜2.在下面的算式空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立.,我们把加法、减法分开考虑,这样可以使问题简单化.(2)选择解题突破口在加法部分,因为十位上有两个数字已经给出,所以十位数字就成为我们解题的突破口.(3)确定各空格中的数字加法部分(如式):,第二个加数与和的十位上均是9,所以个位上的数字之和一定向十位进了1,十位上的数字之和也向百位进了 1.所以算式中十位上应是故第一个加数的十位填9.②填个位由于个位上1,所以中只能填9,则和的个位就为0.③填百位和千位由于第一个加数是两位数,第二个加数是三位数,而和是四位数,所以百位上数字相加后必须向千位进1,这样第二个加数的百位应填9,和的千位应填1,和的百位应填0.这样加法部分就变成:减法部分(如下式):1 0 9 0①填个位由于被减数的个位是0,差的个位是5,而10-5=5,所以减数的个位应该填5.这样减法部分的算式变成:②填十位、百位由于被减数是四位数,减数是三位数,差是两位数,所以减数的百位必须填9,同时十位相减时必须向百位借1,这样减数与差的十位也只能是9.这样减法部分的算式变为:此题的答案是:54.在下面算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立.4. (1)审题 这是一个乘法算式,被乘数是三位数,个位上数字是9,乘数是一位数,积是一个四位数,积的千位数字为3,积的百位数字为0,积的个位数字为1.(2)选择解题突破口 因为乘数是一位数,当乘数知道以后,根据乘法法则,竖式中其他的空格就可以依次填出,因此乘数是关键,把它作为解题的突破口.(3)确定各空格中的数字 由于乘积的个位数字为1,所以可以确定出乘数为9.又因为积的前两位为30,所以被乘数的最高位(即百位)为3,于是被乘数的十位与乘数9相乘后应向百位进3,这样被乘数的十位应填3.得到此题的解为:15．在图7-3所示的除法算式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数．问被除数是多少?【分析与解】 为了方便说明，标出字母．O.A3B =A3B 999=A3B ÷999=EF ÷CD ，被除数与除数均为两位数． 所以A3B 999可以约分后为EF CD，999为除数CD 的倍数， 999=3×3×3×37，999的约数中只有27、37为两位数，所以除数CD 只能是27或37． 第四行对应为CD ×3，且为三位数，所以CD =37．那么第四行为37×3=111．则第五行首位为0减1，借位后为9．所以第五行为90，对应为CD ×B+EF =37×B+EF (EF <CD )．当B=1时，37×B+EF 小于37×(1+1)=54，不满足；当B=2时，37×B+EF =37×2+EF =90，解得被除数EF=16．。