学 学而思 2 2013 自 自主招生 生笔试通 通用课 课程
Ge eneral Course es for Univers sity Autonom mous Enrollm ment（2013）
数学第一 一讲
【本讲概要 要】
函数 数与方程
函 函数问题是高 高中代数的重中 中之重，从高 高中所学习的 的函数性质等 等问题出发，可以引申出 出很多很有趣 趣 的问题，往 往往需要一定 定的代数恒等变 变形能力和分 分析能力才能 能够解决。 而 而方程则和函 数问题密切相 相关，方程解 解的形式，解 解的多少，解 解所在的区间 间是方程问题 题中的三个核 核 心问题。 在 在解决函数问 题时， 形象化 化的分析和具 具体的代数演 演算二者缺一 一不可， 对学生 生往往具有较 较高的要求。
【例 15】已 已知方程 f ( x) x 的根叫做函数 f ( x) 的不动点，求证： (1) ) 若 x0 是 f ( x) 的不动点， ，则 x0 也是 f ( f ( x)) 的不 不动点； (2) ) 若 f ( x) 没有 有不动点，则 则 f ( f ( x)) 若存在不动点 若 数个. ，必然为偶数
2 B. 2,0
C. 0,
D. ,0
（2） （2011 北约）求 f x x 1 2 x 1 ... 2011x 1 的最小值 的
【例 2】试构 构造函数 f x ，其定义 义域为 0,1 ，值域为 0,1 （1） 对于 于 a 0,1 , f ( x) a 只有 有一解； （2） 对于 于 a 0,1 , f ( x) a 有无 无穷多个解
2
【例 5】 （20 012 卓越）已 已知函数 f x （Ⅰ Ⅰ）求 f x 的单调区间 （Ⅱ Ⅱ）若 a 0 ，设 ， | xi | f x1 f x2 f x3 1 a
ax 2 1 ，其中 a 是非 非零实数， b 0 。 bx
【知识提要 要】
1，函数的基本 本性质 2，函数和微积 积分 3，函数和方程 程的根 4，和无理数相 相关的一些问 问题
【例题精讲 讲】 板块一：函 函数的基本 本性质和变形 形处理 【课前思考 考】
仅通过 过简单的计算 算和猜测，试 试给出下列函数的基本性质 质（单调，对 对称，周期） ） ，并力所能 能及地给出其 其 图像，如果 果一些函数难 难以给出图像，试分析其原 原因。 （1） f x log a
1
【例 1】试研 研究 f x x a x b x c a b c 的性质，并计算其 其最小值。 进一 一步的，若 f x x a 2 x b 3 x c 4 x d 然后 后解决如下问 问题： （1 ） （2012 北约 约）函数 y x 2 x 1 x 为增函 函数，则 x 必属于区间（ 必 （ A. . , 2 ） 最小值应该在 在哪儿取到？ a b c d ，其最
的 n 个根为 x1 , x2 , xn ，则有 有
an 1 x1 x2 xn a n an 2 x1 x2 x1 x3 x1 xn xn 1 xn a n x x x x x x x x x a n 3 n 2 n 1 n 1 2 4 1 2 3 an n a x1 x2 xn 1 0 an
1 ， 过 a, f a ， b, f b 两点的直线方程为 y cx d ． x 1 （ （Ⅰ）求证： 当 a x b 时， cx d ； x
（Ⅱ）求证： ln n 1 （
n 1 1 1 1 ． 2 n 1 2 3 n
f x 在复数范 任意次数 n 0 的多项式 的 范围内都可以表达为 f x an x x1 x x2 x xn ．
且易得如下结论：一个 n 次的 的多项式至多 多有 n 个根。 （3）韦达定理 （ 理： 设 n 次多项式
f x an x n an 1 x n 1 a1 x a0 Nhomakorabea
f a a
【例 18】 （2010 2 北大保送 送） 已知 f x x 2 px q ， 且方程 f f x 0 有且只有一解， 求证：p 0, q 0 ．
【例 19】设 设 f x x 2 ax b, g x x 2 cx d ，如果方程 程 f g x 0 和 g f x 0 都没有 有实数根，求 求 证：方程 f f x 0 和 g g x 0 中至少有一 一个没有实数 数根。
012 华约)记函 函数 f n ( x) 1 x 【例 8】(20
x2 xn … ， n 1, 2 …，证明 明：当 n 是偶 偶数时，方程 程 f n ( x) 0 没 2! n!
有实根：当 当 n 是奇数时，方程 f n ( x) 0 有唯一的 的实根 n ，且 且 n n2 ，
， i 1, 2,3 ，且 x1 x2 0 ， x2 x3 0 ， x3 x1 0 。证明 明：
2 a ； b
（Ⅲ Ⅲ）若 f x 有极小值 f min ，且 f min f (1) 2 ，证 证明 | f x |n | f x n | 2n 2 n N * 。
【例 11】已 已知函数 f x e x ln( x 1) 1( x 0) ) （1） 求函 函数 f x 的最小值； （2） 若 0 y x ，求 求证： e x y 1 ln( x 1) ln( y 1)
【例 12】 （12 2 清华夏令营 营） 设 0 a b ，f x
M N
xm 1 【例 4】 （20 010AAA 测试 试）设函数 f x x 1 ，且存在函 函数 s t at b, (t 2 , a 0) 满足 足 2t 1 2 s 1 f s t 2 s 1 2t 1 （1） 证明：存在函数 t s cs d ( s 0) ，满 满足 f ； t s 1 ., 证明： xn 2 n 1 （2） 设 x1 3, xn 1 f xn , n 1, 2,... 3
5
1， 根的存在 在性，根的数 数目和根的计 计算：
3a 2) x 2 4a ，证明：对 【例 14】设 设 f ( x) (1 a) x 4 x3 (3 对于任意实数 数 a，
(1) ) 方程 f ( x) 0 有实根； (2) ) 存在某个 x0 ，恒有 f ( x0 ) 0
2，用导数或 或者积分证明 明不等式：
【课前思考 考】
请用导 导数和极值的关系证明如下 下几个不等式 式： （1 ） e x ≥ 1 x
n 1 x ≤ x （2） ln
0 （3） sin x x tan x x 0, 2
3
尝试用 用积分的方式理解不等式：
1 x 1 x
（2 ） f x
ex x 1
（3 ） f x
1 x 1
2
（4） f x ln x x 2 1 （7） f x e x sin x


（5） f x x sin x
（6） f x sec x
1 1 （8） f x sin x cos x （9） f x sin n x x
【例 10】 （11 华约）已知函数 f x
2x , f 1 1, ax b
（ （Ⅰ）求数列 xn 的通项公式； （ （Ⅱ）证明： x1 x2 x3 xn
1 ． 2e
1 1 2 f ，令 x1 , xn 1 f xn ． 2 3 2
【例 16】给 给定函数 f ( x) 4 4 x
2 。试问，方程 f ( f ( x)) x 有多少 少个解？
【例 17】(2012 ( 北大保 保送) f x 是一个二次函 是 函数， a, f a , f f a , f f f a 成正等比数 数列，求证：



板块二：函 函数和微积 积分初步
导数对 对于函数的三 三个基本作用：求切线，单 单调性，极值 值，进一步的 的，导数和积 积分的知识可 可以用来解决 决 一些不等式 式的问题。 1，函数的导 导数的基本作 作用： 【例 6】(20 011 北大保送 送)已知 f x ax sin x 表示的图像 像上有两条切 切线相互垂直 直，求 a 的值
【例 3】 （20 011AAA 测试 试样题） 已知 f x 是定义 义在 R 上的奇 奇函数， 且当 x<0 时，f x 单调递增，f 1 0 ， 设 x sin n 2 x m cos x 2m ，集合 合 M m | x 0, , ( x) 0 ， N m | x 0, , f ( x) 0 ，求 求 2 2
P(a, 0) 0 且平行于 y 轴的直线与 【例 7】 （20 010AAA 测试 试）设 f x e ax (a 0) ，过点 ， 与曲线 C： y f x 的交 交 点为 Q，曲 曲线 C 过点 Q 的切线交 x 轴于点 R，则 PQR 面积 积的最小值是 是多少？
板块三：方 方程的根
（ （1）设多项式 式 f x an x an 1 x
n n 1
a1 x a0 ，如果 x0 满足
f x0 an x0 n an 1 x0 n 1 a1 x0 a0 0 ，