所以 Cr 的晶体结构为体心立方结构（bcc） 8. 铁在 912℃时由 α–Fe（体心立方）变为 γ–Fe（面心立方） ，已知碳存在于铁 的间隙中，试解释为什么碳在γ–Fe 中的溶解度（最高可达 wc2.11%）比在α–Fe 中的溶解度（最高只有 wc 0.0218% ）大？(已知γ–Fe、α–Fe 和碳的原子半径分 别为 0.129nm、0.125nm 和 0.077nm) 解： 实验证明， 碳原子无论是溶入α-Fe 还是γ-Fe 所处的间隙位置都是八面体间隙 现计算两种间隙的大小。 对γ-Fe，如课本面心立方晶体的八面体间隙图所示，以（100）晶面上碳原
因此 c/a=√8/3=1.633 6. Ni 的晶体结构为面心立方结构，其原子半径为 r =0.1243nm，试求 Ni 的晶格 常数和密度。
解：晶格常数 a Ni 的密度
4r 4 0.1243 0.3516(nm) 2 2
4A r 4 58.69 8.967(g/cm3 ) 3 8 3 23 a N A （3.516 10 ） 6.02 10
3
=4.308(g / cm3 )
4 3 4 3 4 rCs+ rCl (0.1673 0.1813 ) 3 K3 =3 0.683 3 3 2rCs+ +2rCl- 2(0.167 0.181) 3 3
4. 立方晶系的各{111}晶面构成一个八面体，试作图画出该八面体，并注出这些 具体晶面的指数。
(111) (111) (111) (111) (111) (111) (111)
(111)
5. 试证明理想密排六方结构的轴比 c/a=1.633。 证明：理想密排六方晶格配位数为 12，即晶胞上底面中心原子与其下面的 3 个 位于晶胞内的原子相切，成正四面体，如图所示
1 a 3 d (111) a 0.289a 2 6 12 12 12 K (111) 1 1 2 3 r 2 r 6 2 0.340 3 3 4 2 2 ( 2a ) ( 2 r) 4 4 3
从上面计算结果，体心立方晶体中考虑附加面因素， （110）面的面间距为最大。
[111]
(421)
[211]
[113]
1101
[121 3 ] [ 011]
3212
2111
2. 分别写出图示立方晶胞中晶向及晶面的指数。 z
[2111] [301]
1 3
[012] [201]
1/ 2 1/ 2
(121)
(122) x
1/ 2
y [110]
3. 试分别计算面心立方晶体和体心立方晶体的（100） ， （110） ， （111）等晶面的 面间距和面致密度，并指出其面间距最大的面。 解：在面心立方晶体中，当（hkl）不全为奇数或者全偶数时，有附加面的存在
4 3 4 3 4 4 rMg 4 rO 4 (0.783 1.323 ) 3 3 3 = 0.627 致密度 K (2rMg +2rO )3 8(0.78+1.32)3
12. 铯与氯的离子半径分别为 0.167nm、0.181nm，试问：a)在氯化铯内离子在 <100>或 <111>方向是否相接触？ b)每个单位晶胞内有几个离子？ c) 各离子的配 位数是多少？d) 密度ρ和致密度 K？ 解：a) CsCl 离子晶体结构属于立方晶系，简单立方点阵，Cs+和 Cl-半径之比为 0.167nm/0.181nm=0.923，Cl-离子构成正六面体，Cs+离子在其中心 Cs+和 Cl-的配 位数都为 8，在氯化铯内离子在<100>方向相接触，<111>方向不接触。
则 OD=c/2，AB=BC=CA=CD=a 因△ABC 是等边三角形，所以有 OC=2/3CE 由于(BC)2=(CE)2+(BE)2 则 CE
3 2 3 3 a ， OC a a 2 3 2 3
有(CD)2=(OC)2+(1/2c)2，即
(CD) 2 (
3 2 1 2 a) ( c) a 2 3 2
B）按照晶格常数计算实际转变体积膨胀△V 实，有
Vr a
△V 实=2△Vb-Vf=2×(0.2892)3-(0.3633)3=0.000425nm3 实际体积膨胀小于理论体积膨胀的原因在于由γ-Fe 转化为α-Fe 时，Fe 原子 的半径发生了变化，原子半径减小了。 10. 从晶体结构的角度， 试说明间隙固溶体、 间隙相以及间隙化合物之间的区别。
（1）溶质原子分布于溶剂晶格间隙而形成的固涪体称为间隙固溶体。形成间隙固溶体的溶 质原子通常是 H，B，C，N，O 等。间隙固溶体保持母相(溶剂)的晶体结构，其成分可在一 定固溶度极限值内波动，不能用分子式表示。 （2）间隙相和间隙化合物属原子尺寸因素占主导地位的中间相。它们显然也是原子半径较 小的非金属元素占据晶格的间隙， 然而间隙相、 间隙化合物的晶格与组成他们的任一组元晶 格都不相同。 它们的成分可在一定范围内波动。 但组成它们的组元大致都具有一定的原于组 成比，可用化学分子式来表示。 （3）当 rB/rA＜0.59 时， 通常形成间隙相， 其结构为简单晶体结构， 具有极高的熔点和硬度； 当 rB/rA> 0.59 时，则形成间隙化合物，其结构为复杂的晶体结构。
d (100)
1 a 0.5a 2 2 1 00
K (100)
1 4 r 2 r2 4 0.589 4 2 a2 ( r) 3 a 12 12 0 0.707 a
d (110)
K (110)
1 ( 4 1) r 2 2 r 2 4 0.833 4 2 2 a2 2( r) 3
d (111)
K (111)
1 1 ( 3 3) r 2 2 r 2 6 2 0.907 3 3 4 2 2 ( 2a ) ( 2 r) 4 4 2
从上面计算结果得知，原子排列最密排的（111）晶面的面间距最大。 在体心立方晶体中，h+k+l 为奇数时，有附加面的存在
7. Cr 的晶格常数 a=0.2884nm， 密度为ρ=7.19g/cm3， 试确定此时 Cr 的晶体结构。 解：由
nA r a 3 N A 7.19 (2.884 108 )3 6.02 1023 可得到 n 1.9977 2 a3 N A Ar 52.0
1 子所处的间隙位置 (0, , 0) 为例（只要是碳原子位于八面体间隙，取任一晶面计 2
算都是等效的） ，计算其八面体间隙的间隙半径 r：r=0.414R=0.053nm 对α-Fe，以（110）晶面上碳原子所处的间隙位置都是八面体间隙所处的间
1 隙位置 (0, , 0) 为例，计算其八面体间隙的间隙半径 r：r=0.115R=0.0119nm 2
Cl
Cs +
b) 每个单位晶胞内有 1 个 Cs+和 1 个 Clc) 各离子的配位数是 8 d) CsCl 的密度

A r (Cs) A r (O) 2rCs+ +2rCl- NA 3
致密度
3
=
132.9 35.453 2(1.67 0.81) 24 23 10 6.02 10 3
碳的原子半径是γ-Fe 间隙半径的１.45 倍，是α-Fe 间隙半径的 4 倍。 由此可见，虽然α-Fe 总的间隙量较γ-Fe 多，且间隙位置数也多，但每个间隙 的尺寸都很小，碳原子进入该间隙较困难。因而碳在 γ-Fe 中的溶解度比在 α-Fe 中的溶解度大。 9. a)按晶体的钢球模型，若球的直径不变，当 Fe 从 fcc 转变为 bcc 时，计算其体 积膨胀多少？ b) 经 x 射线衍射测定在 912℃时， α-Fe 的 a=0.2892nm ， γ-Fe 的 a=0.3633nm，计算从γ-Fe 转变为α-Fe 时，其体积膨胀为多少？与 a)相比，说明 其差别原因。 解：a）令面心立方晶格与体心立方晶格的体积及晶格常数分别为 Vf、Vb 与 af、 ab，钢球的半径为 r，由晶体结构可知，对于面心晶胞有
11. MgO 具有 NaCl 型结构。 Mg2+ 的离子半径为 0.078nm ， O2- 的离子半径为 0.132nm。试求 MgO 的密度（ρ） 、致密度（K） 。 解：MgO 的密度

4[Ar(Mg) Ar(O) ] (2rMg +2rO ) N A
3
=
4[24.31 16.00] =3.613(g / cm3 ) 3 24 23 8(0.78+1.32) 10 6.02 10
4r 2a f ，af= 2 2r ，Vf=(af)3=( 2 2r )3
对于体心晶胞有
4r 3ab ，ab=
4 4 r ，Vb=（ab）3=（ r ）3 3 3
则由面心立方晶胞转变为体心立方晶胞的体积膨胀△V 为
Vr a
1 4 3 1 ( r ) (2 2r )3 2 4 3 9% 1 (2 2r )3 4 1 1 (0.2892)3 (0.3633)3 4 2 0.87% 1 (0.3633)3 4
d (100)
1 a 0.5a 2 12 0 0
K (100)
1 ( 4 1) r 2 2 r 2 4 0.785 4 2 a2 ( r) 2 1 a 0.354a 2 2 1 12 0
d (110)
K (110)
1 1 ( 4 2) r 2 2 r 2 2 4 0.555 4 2 2 a2 2( r) 2 a 12 12 12 0.577 a
第二章