学案22 简单的三角恒等变换导学目标: 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换.自主梳理1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=________________;(2)cos 2α=______________=________________-1=1-________________;(3)tan 2α=________________________ (α≠k π2+π4且α≠k π+π2).2.公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α=____________________⇒cos α=sin 2α2sin α;(2)降幂公式:sin 2α=________________,cos 2α=________________; 升幂公式:1+cos α=________________,1-cos α=_____________; 变形:1±sin 2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=________________________. 自我检测 1.(2010·陕西)函数f (x )=2sin x cos x 是 ( ) A .最小正周期为2π的奇函数 B .最小正周期为2π的偶函数 C .最小正周期为π的奇函数 D .最小正周期为π的偶函数 2.函数f (x )=cos 2x -2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A .-3,1 B .-2,2C .-3,32D .-2,323.函数f (x )=sin x cos x 的最小值是 ( )A .-1B .-12 C.12D .14.(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角,则sin A ·sin B ( )A .有最大值12,最小值0B .有最小值12,无最大值C .既无最大值也无最小值D .有最大值12,无最小值探究点一 三角函数式的化简例1 求函数y =7-4sin x cos x +4cos 2x -4cos 4x 的最大值和最小值.变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )=4cos 4x -2cos 2x -1sin ⎝⎛⎭⎫π4+x sin ⎝⎛⎭⎫π4-x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫-11π12的值;(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0,π4时,求g (x )=12f (x )+sin 2x 的最大值和最小值.探究点二 三角函数式的求值例2 已知sin(π4+2α)·sin(π4-2α)=14,α∈(π4,π2),求2sin 2α+tan α-1tan α-1的值.变式迁移2 (1)已知α是第一象限角,且cos α=513,求sin (α+π4)cos (2α+4π)的值.(2)已知cos(α+π4)=35,π2≤α<3π2,求cos(2α+π4)的值.探究点三 三角恒等式的证明 例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α+β)=3sin β,设tan α=x ,tan β=y ,记y =f (x ). (1)求证:tan(α+β)=2tan α; (2)求f (x )的解析表达式;(3)若角α是一个三角形的最小内角,试求函数f (x )的值域.变式迁移3 求证:sin 2x(sin x +cos x -1)(sin x -cos x +1)=1+cos x sin x .转化与化归思想的应用例 (12分)(2010·江西)已知函数f (x )= ⎝⎛⎭⎫1+1tan x sin 2x +m sin ⎝⎛⎭⎫x +π4sin ⎝⎛⎭⎫x -π4. (1)当m =0时,求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8,3π4上的取值范围;(2)当tan α=2时,f (α)=35,求m 的值.【答题模板】解 (1)当m =0时,f (x )=⎝⎛⎭⎫1+cos x sin x sin 2x =sin 2x +sin x cos x =1-cos 2x +sin 2x2=12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4+1,[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8,3π4,得2x -π4∈⎣⎡⎦⎤0,5π4,[4分] 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4∈⎣⎡⎦⎤-22,1,[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,1+22.[6分](2)f (x )=sin 2x +sin x cos x -m2cos 2x=1-cos 2x 2+12sin 2x -m 2cos 2x=12[sin 2x -(1+m )cos 2x ]+12,[8分] 由tan α=2,得sin 2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α=45,cos 2α=cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α=1-tan 2α1+tan 2α=-35.[10分]所以35=12⎣⎡⎦⎤45+35(1+m )+12,[11分] 解得m =-2.[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是:(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等.1.求值中主要有三类求值问题:(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则:(1)在化简求值和证明时常用如下方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的代换法等.(2)常用的拆角、拼角技巧如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,α+β2=⎝⎛⎭⎫α-β2+⎝⎛⎭⎫β-α2,α2是α4的二倍角等. (3)化繁为简:变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为单项式,化无理式为有理式.消除差异:消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.(满分:75分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2011·平顶山月考)已知0<α<π,3sin 2α=sin α,则cos(α-π)等于 ( ) A.13 B .-13 C.16 D .-162.已知tan(α+β)=25,tan ⎝⎛⎭⎫β-π4=14,那么tan ⎝⎛⎭⎫α+π4等于 ( ) A.1318 B.1322 C.322 D.163.(2011·石家庄模拟)已知cos 2α=12(其中α∈⎝⎛⎭⎫-π4,0),则sin α的值为 ( ) A.12 B .-12 C.32 D .-324.若f (x )=2tan x -2sin 2x 2-1sin x 2cos x2,则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ( ) A .-433B .8C .4 3D .-4 3 5.(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC 中,若cos 2B +3cos(A +C )+2=0,则sin B 的值是 ( )A.12B.22C.32 D .1 题号 1 2 3 4 5 答案 6.(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角,且sin α=35,则tan 2α=________.7.函数y =2cos 2x +sin 2x 的最小值是________.8.若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α-π4=-22,则cos α+sin α的值为________.三、解答题(共38分)9.(12分)化简:(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°; (2)3-4cos 2α+cos 4α3+4cos 2α+cos 4α.10.(12分)(2011·南京模拟)设函数f (x )=3sin x cos x -cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2+x -12. (1)求f (x )的最小正周期;(2)当∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,求函数f (x )的最大值和最小值.11.(14分)(2010·北京)已知函数f (x )=2cos 2x +sin 2x -4cos x .(1)求f (π3)的值;(2)求f (x )的最大值和最小值.答案 自主梳理1.(1)2sin αcos α (2)cos 2α-sin 2α 2cos 2α 2sin 2α(3)2tan α1-tan 2α2.(1)12sin 2α (2)1-cos 2α2 1+cos 2α2 2cos 2α2 2sin 2α2 (sin α±cos α)2自我检测1.C 2.C 3.B 4.D 课堂活动区例1 解题导引 化简的原则是形式简单,三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.本题要充分利用倍角公式进行降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键.解 y =7-4sin x cos x +4cos 2x -4cos 4x =7-2sin 2x +4cos 2x (1-cos 2x ) =7-2sin 2x +4cos 2x sin 2x=7-2sin 2x +sin 22x =(1-sin 2x )2+6,由于函数z =(u -1)2+6在[-1,1]中的最大值为z max =(-1-1)2+6=10,最小值为z min=(1-1)2+6=6,故当sin 2x =-1时,y 取得最大值10, 当sin 2x =1时,y 取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f (x )=(1+cos 2x )2-2cos 2x -1sin ⎝⎛⎭⎫π4+x sin ⎝⎛⎭⎫π4-x=cos 22xsin ⎝⎛⎭⎫π4+x cos ⎝⎛⎭⎫π4+x=2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2+2x =2cos 22x cos 2x =2cos 2x ,∴f ⎝⎛⎭⎫-11π12=2cos ⎝⎛⎭⎫-11π6=2cos π6= 3. (2)g (x )=cos 2x +sin 2x=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4.∵x ∈⎣⎡⎭⎫0,π4,∴2x +π4∈⎣⎡⎭⎫π4,3π4, ∴当x =π8时,g (x )max =2,当x =0时,g (x )min =1.例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值;化简后目标更明确;(2)如果能从已知条件中求出特殊值,应转化为特殊角,可简化运算,对切函数通常化为弦函数.解 由sin(π4+2α)·sin(π4-2α)=sin(π4+2α)·cos(π4+2α)=12sin(π2+4α)=12cos 4α=14, ∴cos 4α=12,又α∈(π4,π2),故α=5π12,∴2sin 2α+tan α-1tan α-1=-cos 2α+sin 2α-cos 2αsin αcos α=-cos 2α+-2cos 2αsin 2α=-cos 5π6-2cos5π6sin 5π6=532.变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角,cos α=513,∴sin α=1213.∴sin (α+π4)cos (2α+4π)=22(sin α+cos α)cos 2α=22(sin α+cos α)cos 2α-sin 2α=22cos α-sin α=22513-1213=-13214.(2)cos(2α+π4)=cos 2αcos π4-sin 2αsin π4=22(cos 2α-sin 2α), ∵π2≤α<32π, ∴3π4≤α+π4<74π. 又cos(α+π4)=35>0,故可知32π<α+π4<74π,∴sin(α+π4)=-45,从而cos 2α=sin(2α+π2)=2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×(-45)×35=-2425.sin 2α=-cos(2α+π2)=1-2cos 2(α+π4)=1-2×(35)2=725.∴cos(2α+π4)=22(cos 2α-sin 2α)=22×(-2425-725)=-31250.例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明,对于三角恒等式的证明,我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同,特别是分析已知和要求的角之间的关系,再分析函数名之间的关系,则容易找到思路.证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.对于第(2)小题同样要从角的关系入手,利用两角和的正切公式可得关系.第(3)小题则利用基本不等式求解即可.(1)证明 由sin(2α+β)=3sin β,得sin[(α+β)+α] =3sin[(α+β)-α],即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α, ∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α, ∴tan(α+β)=2tan α.(2)解 由(1)得tan α+tan β1-tan αtan β=2tan α,即x +y1-xy=2x ,∴y =x 1+2x 2,即f (x )=x1+2x2.(3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角, ∴0<α≤π3,0<x ≤3,设g (x )=2x +1x ,则g (x )=2x +1x ≥22(当且仅当x =22时取“=”).故函数f (x )的值域为(0,24].变式迁移3 证明 因为左边=2sin x cos x[sin x +(cos x -1)][sin x -(cos x -1)]=2sin x cos x sin 2x -(cos x -1)2=2sin x cos xsin 2x -cos 2x +2cos x -1=2sin x cos x -2cos 2x +2cos x =sin x 1-cos x =sin x (1+cos x )(1-cos x )(1+cos x )=sin x (1+cos x )sin 2x =1+cos x sin x =右边.所以原等式成立.课后练习区1.D [∵0<α<π,3sin 2α=sin α,∴6sin αcos α=sin α,又∵sin α≠0,∴cos α=16,cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-16.]2.C [因为α+π4+β-π4=α+β,所以α+π4=(α+β)-⎝⎛⎭⎫β-π4. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=tan ⎣⎡⎦⎤(α+β)-⎝⎛⎭⎫β-π4 =tan (α+β)-tan ⎝⎛⎭⎫β-π41+tan (α+β)tan ⎝⎛⎭⎫β-π4=322.]3.B [∵12=cos 2α=1-2sin 2α,∴sin 2α=14.又∵α∈⎝⎛⎭⎫-π4,0, ∴sin α=-12.]4.B [f (x )=2tan x +1-2sin 2x212sin x =2tan x +2cos xsin x=2sin x cos x =4sin 2x ∴f ⎝⎛⎭⎫π12=4sin π6=8.] 5.C [由cos 2B +3cos(A +C )+2=0化简变形,得2cos 2B -3cos B +1=0,∴cos B =12或cos B =1(舍).∴sin B =32.]6.-247解析 因为α为第二象限的角,又sin α=35,所以cos α=-45,tan α=sin αcos α=-34,所以tan 2α=2tan α1-tan 2α=-247.7.1- 2解析 ∵y =2cos 2x +sin 2x =sin 2x +1+cos 2x=sin 2x +cos 2x +1=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+1, ∴当sin(2x +π4)=-1时,函数取得最小值1- 2.8.12解析 ∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α-π4=cos 2α-sin 2α22(sin α-cos α)=-2(sin α+cos α)=-22,∴cos α+sin α=12.9.解 (1)∵sin 2α=2sin αcos α,∴cos α=sin 2α2sin α,…………………………………………………………………………(2分)∴原式=sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·12·sin 160°2sin 80°=sin (180°-20°)16sin 20°=116.……………………………………………………………………(6分)(2)原式=3-4cos 2α+2cos 22α-13+4cos 2α+2cos 22α-1………………………………………………………(9分)=(1-cos 2α)2(1+cos 2α)2=(2sin 2α)2(2cos 2α)2=tan 4α.………………………………………………………(12分) 10.解 f (x )=3sin x cos x -cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2+x -12=32sin 2x -12cos 2x -1 =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6-1.…………………………………………………………………………(4分) (1)T =2π2=π,故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)(2)因为0≤x ≤π2,所以-π6≤2x -π6≤5π6.所以当2x -π6=π2,即x =π3时,f (x )有最大值0,……………………………………………………………………………………………(10分) 当2x -π6=-π6,即x =0时,f (x )有最小值-32.……………………………………………………………………………………………(12分)11.解 (1)f (π3)=2cos 2π3+sin 2π3-4cos π3=-1+34-2=-94.………………………………………………………………………(4分)(2)f (x )=2(2cos 2x -1)+(1-cos 2x )-4cos x。