第9章非正弦周期电流电路前面讨论的交流电路中，电压和电流都是按正弦规律变化的，因此称为正弦交流电路。

工程上还有很多不按正弦规律变化的电压和电流，例如在无线电工程及通信技术中，由语言、音乐、图象等转换过来的电信号、自动控制技术以及电子计算机中使用的脉冲信号、非电测量技术中由非电量变换过来的电信号等，都不是按正弦规律变化的正弦信号；即使在电力工程中应用的正弦电压，严格地讲也只是近似的正弦波，而且在发电机和变压器等主要设备中都存在非正弦周期电压或电流，含有非正弦周期电压和电流的电路称为非正弦周期电流电路。

无论是分析电力系统的工作状态还是分析电子工程技术中的问题，常常都需要考虑非正弦周期电压和电流的作用。

因此，对非正弦周期电流电路的分析和研究是十分必要的。

前面讲述的电路基本定律仍然适用于非正弦周期电流电路。

非正弦周期信号有着各种不同的变化规律，直接应用正弦交流电路中的相量分析法分析和计算非正弦周期电流电路显然是不行的。

如何分析和计算非正周期信号作用下的电流电路，是摆在我们面前的新问题。

为此，本章将引入非正弦周期信号激励于线性电路的一种分析方法——谐波分析法，它实质上是正弦电流电路分析方法的推广。

我们还要详细讨论非正弦周期量的波形与它所包含的谐波成分之间的关系，在这些研究的基础上，进一步讨论非正弦周期信号作用下线性电路的计算方法。

本章教学要求理论教学要求：了解非正弦周期量与正弦周期量之间存在的特定关系；理解和掌握非正弦周期信号的谐波分析法；明确非正弦周期量的有效值与各次谐波有效值的关系及其平均功率计算式；掌握简单线性非正弦周期电流电路的分析与计算方法。

实验教学要求：利用电工实验装置上的直流电压源和信号发生器，分别取一个直流电压和一个正弦交流电压连接在电路中，用双踪示波器进行观察；让上述两电源共同作用于一个自己设计的电路中，观察元件两端电压的波形和元件中通过的电流波形，并加以说明。

练习描绘非正弦周期波的波形曲线。

9.1 非正弦周期信号学习目标：理解非正弦周期信号与一系列不同频率的正弦波信号之间的关系，掌握谐波的概念。

9.1.1 非正弦周期信号的产生当电路中激励是非正弦周期信号时，电路中的响应也是非正弦的。

例如我们实验室里的170171信号发生器，它除了产生正弦波信号，还能产生方波信号和三角波信号等，如图9.1所示。

这些非正弦周期信号加到电路中，在电路中产生的电压和电流当然也是非正弦波。

若一个电路中同时有几个不同频率的正弦激励共同作用，电路中的响应一般也不是正弦量。

例如晶体管交流放大电路，它工作时既有为静态工作点提供能量的直流电源，又有需要传输和放大的正弦输入信号，则放大电路中的电流既不是直流，也不是正弦交流，而是非正弦周期电流。

电路中含有非线性元件时，即使激励是正弦量，电路中的响应也可能是非正弦周期函数。

例如半波整流电路，加在输入端的电压是正弦量，但是通过非线性元件二极管时，正弦量的负半波被削掉，输出成为非正弦的半波整流；另外在正弦激励下，通过铁心线圈中的电流一般也是非正弦波。

非正弦周期信号的波形变化具有周期性，这是它们的共同特点。

9.1.2 非正弦周期信号图9.2（a ）图中的粗黑实线所示方波是一 种常见的非正弦周期信号，图中虚线所示的u 1 是一个与方波同频率的正弦波，显然，两个波 形的形状相差甚远。

图中虚线所示还有一个振 幅是u 1的1/3、频率是u 1的三倍的正弦波u 3， 将这两个正弦波进行叠加，我们可得到一个如 图（a ）中细实线所示的合成波u 13，这个u 13与 u 1相比，波形的形状就比较接近方波了。

如果我们再在u 13上叠加一个振幅是u 1的1/5、 频率是u 1的5倍的正弦波u 5，如图（b ）中虚 线所示两波形，又可得到如图中细实线所示的 合成波u 135，这个u 135显然更加接近方波的波 形。

依此类推，把振幅为u 1的1/7、1/9……、7倍、9倍……于u 1的高频率正弦波继续叠加到合成波u 135、u 1357……上，最终的合成波肯定与图中方波完全相同了。

此例说明，一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波，叠加后可构成一个非正弦周期波。

我们把这些频率不同的正弦波称为非正弦周期波的谐波，其中u 1的频率与方波相同，称为方t图9.1 信号发生器产生的波形 图9.2 方波电压的合成t（a ）u 13t（b ）u 5172波的基波，是构成方波的基本成分；其余的叠加波按照频率为基波的K 次倍而分别称为K 次谐波，如u 3称为方波的3次谐波、u 5称为方波的5次谐波等。

K 为奇数的谐波又称为奇次谐波，K 为偶数的谐波称为偶次谐波；基波也可称作一次谐波，高于一次谐波的正弦波均可称为高次谐波。

既然各次谐波可以合成为一个非正弦周期波，反之，一个非正弦周期波亦可分解为无限多项谐波成分，这个分解的过程我们称为谐波分析，谐波分析的数学基础是傅里叶级数。

检验学习结果：9.1.1 电路中产生非正弦周期波的原因是什么？试举例说明。

9.1.2 有人说：“只要电源是正弦的，电路中各部分的响应也一定是正弦波”，这种说法对吗？9.1.3 试述基波、高次谐波、奇次谐波、偶次谐波的概念。

9.1.4 稳恒直流电和正弦交流电有谐波吗？什么样的波形才具有谐波？试说明。

9.2 谐波分析和频谱学习目标：理解非正弦周期信号谐波分析的概念，了解常遇到的非正弦周期信号及其谐波表达式；熟悉频谱的概念，掌握波形的对称性与谐波成分的关系，理解波形平滑性的概念。

非正弦周期信号有各自的变化规律，为了能从这些不同的变化规律中寻找它们和正弦周期信号之间的固有关系，就需对非正弦周期信号进行谐波分析和频谱分析，以便弄清它们是由哪些频率成分构成，以及各个频率分量所占的比例等。

这些问题搞清楚后，就可以在非正弦周期信号的分析和计算中引入正弦电路的计算方法，从而使问题大大简化。

9.2.1 非正弦周期信号的傅里叶级数表达式由上节内容可知，方波实际上是由振幅按1，1/3，1/5，……规律递减，频率按基波的1，3，5，……奇数递增的一系列正弦谐波分量所合成的。

方波的谐波分量表达式为++++=t U t U t U t U u m m m m ωωωω7sin 715sin 513sin 31sin （9.1）谐波表达式在数学上也称为傅里叶级数展开式，其中的Tπω2=，是非正弦周期信号基波的角频率，T 为非正弦周期信号的周期。

具有其它波形的非正弦周期信号，也都是由一系列正弦谐波分量所合成的。

但是，不同的非正弦周期信号波形，它们所包含的各次谐波成分在振幅和相位上也各不相同。

所谓谐波分析，就是对一个已知波形的非正弦周期信号，找出它所包含的各次谐波分量的振幅和初相，写出其傅里叶级数表达式的过程。

我们把电工电子技术中经常遇到的一些非正弦周期信号所具有的波形和谐波成分，列于表9.1中，而对于它们的傅里叶级数求解步骤，在此就不一一赘述了。

1731749.2.2 非正弦周期信号的频谱非正弦周期信号虽然可以展开成傅里叶级数，但是看起来不够直观，不能一目了然。

为了能够更直观地表示出一个非正弦周期信号中包含哪些频率分量，每一个分量的相对幅度有多大，常常采用如图9.3（a ）所示的频谱图进行说明。

频谱图的画法如下：建立直角坐标系，横轴表示频率或角频率，纵轴表示非正弦周期信号的振幅。

用一些长度与基波和各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序依次排列，如图（a ）所示。

图中每一条谱线代表一个相应频率的谐波分量，谱线的高度代表这一谐波分量的振幅，谱线所在的横坐标位置代表这一谐波分量的频率。

将各条谱线的顶点连接起来的曲线（虚线所示），称为振幅的包络线。

由振幅频谱图可直观地看出非正弦周期信号包含了哪些谐波分量以及每个分量所占的“比重”，例如图（b ）、图（c ）所示的方波、锯齿波的频谱图，这种频谱称为振幅频谱。

9.2.3 波形的对称性与谐波成分的关系谐波分析是根据已知波形来进行的。

非正弦周期信号的波形本身，就决定了这个信号含有哪些频率的谐波以及这些谐波的幅度与相位。

实际问题中遇到的各种不同波形的周期信号，ωA K (a )振幅频谱图 ω 4A/4A /5(b)方波的频谱图ωA/(c)锯齿波的频谱图4A/3A/A/2A/4图9.3 振幅频谱图及方波、锯齿波的频谱图175在某些特殊情况下，根据给出的波形用直观的方法就可判断出它所含有的谐波成分，因此就不必对它进行具体地谐波分析，从而给所研究的问题带来了方便。

非正弦周期波含有的谐波成分，按频率可分为两类，一类是频率为基波频率的1，3，5，……倍的谐波，我们称为奇次谐波；另一类是频率为基波频率的2，4，6，……倍的谐波，我们称为偶次谐波。

有些周期信号中还存在着一定的直流成分，称为零次谐波，零次谐波也属于偶次谐波。

观察表9.1中所示的1、2、7三种非正弦周期波的波形，发现它们的共同特点是波形的后半周与波形的前半周具有镜像对称关系，因此这些波形具有奇次对称性，具有奇次对称性的周期信号只具有奇次谐波成分，不存在直流成分以及偶次谐波成分；表中的波形8，当横轴向上移动A /2时，就成为方波，因此它除了具有奇次谐波，还具有直流成分；表中所示的3，4，两种波形，它们的共同特点是波形的后半周完全重复波形前半周的变化，具有偶次对称性。

具有偶次对称性的非正弦周期信号的谐波，除了含有恒定的直流成分以外，还包含一系列的偶次谐波，而没有奇次谐波成分。

综上所述，具有偶次对称性的非正弦周期信号的傅里叶级数中包含直流成分和各偶次谐波成分，具有奇次对称性的非正弦周期信号的傅里叶级数中仅包含奇次谐波成分。

而不具有上述两种对称性的半波整流，既有奇次谐波分量又有偶次谐波分量。

9.2.4 波形的平滑性与谐波成分的关系从表9.1中还可看出，不同的波形，各次谐波分量之间幅度的比例也不同。

如锯齿波的四次谐波振幅是二次谐波振幅的1/2，而正弦全波整流的四次谐波振幅是二次谐波振幅的1/5。

再比较一下方波和等腰三角波，方波的三次谐波振幅是基波振幅的1/3，五次谐波振幅是基波振幅的1/5，其n 次谐波振幅是基波振幅的1/n ；等腰三角波的三次谐波振幅是基波振幅的2)31(，五次谐波振幅是基波振幅的2)51(，其n 次谐波振幅是基波振幅的2)1(n ，显然方波包含的谐波幅度比等腰三角波显著。

观察方波和等腰三角波的波形，可看出前者的平滑程度差。

这是因为方波在正、负半周交界处，其瞬时值突然从＋A 陡变为－A ，发生了跳变；而等腰三角波则在半个周期内按直线规律从＋A 下降为－A ，或从－A 上升为＋A ，整个波形没有跳变。

由此我们可以说，等腰三角波的波形平滑性较方波好。

显然，平滑性较好的非正弦周期波所含有的高次谐波成分相应较小。

由此我们又可得出一个结论：一个非正弦周期信号所包含的高次谐波的幅度是否显著，取决于波形的平滑程度。