实验一方程根的近似计算一、问题求非线性方程的根二、实验目的1、学会使用matlab中内部函数roots、solve、fsolve、fzero求解方程，并用之解决实际问题。
4、熟悉Matlab的编程思路，尤其是函数式M文件的编写方法。
三、预备知识方程求根是初等数学的重要内容之一，也是科学和工程中经常碰到的数值计算问题。
它的一般形式是求方程f(x)=0的根。
如果有x*使得f(x*)=0，则称x*为f(x)=0的根，或函数f(x)的零点。
并非所有的方程都能求出精确解或解析解。
理论上已经证明，用代数方法可以求出不超过3次的代数方程的解析解，但对于次数大于等于5的代数方程，没有代数求根方法，即它的根不能用方程系数的解析式表示。
至于超越方程，通常很难求出其解析解。
不存在解析解的方程就需要结合具体方程（函数）的性质，使用作图法或数值法求出近似解。
而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。
下面介绍几种常见的求近似根的方法。
1. 求方程近似解的简单方法1.1 图形方法—放大法求根图形的方法是分析方程根的性态最简洁的方法。
不过，不要总是想得到根的精确值。
这些值虽然粗糙但直观，多少个根，在何范围，一目了然。
并且还可以借助图形局部放大功能，将根定位得更加准确一些。
例1.1 求方程x5+2x2+4=0的所有根及其大致分布范围。
解（1）画出函数f(x)=x5+2x2+4的图形，确定方程的实数根的大致范围。
为此，在matlab命令窗中输入clfezplot x-x,grid onhold onezplot('x^5+2*x^2+4',[-2*pi,2*pi])1-1 函数f(x)=x5+2x2+4的图形clfx=-2*pi:0.1:2*pi;y1=zeros(size(x));y2= x.^5+2*x.^2+4;plot(x,y1,x,y2)grid onaxis tighttitle('x^5+2x^2+4')xlabel('x')从图1-1可见，它有一个实数根，大致分布在-2与2之间。
（2）将作图范围不断缩小，用放大法可得到精度越来越高的根的近似值。
在matlab命令窗中先后键入subplot(2,2,1)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-2,2])subplot(2,2,2)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-2,-1])subplot(2,2,3)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-1.6,-1.5])subplot(2,2,4)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-1.55,-1.54])图1-2 放大法求函数f(x)=x5+2x2+4的根由图1-2可知，方程的根在-1.545与-1.54之间。
1.2 数值方法非线性方程f(x)=0求根的方法有区间法和迭代法两大类，二分法、弦位法是区间法，简单迭代法和牛顿迭代法及其变形是迭代法，这里只给出二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的构造过程。
（1）根的隔离与二分法根的隔离思想来源于连续函数的零点定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一根x *。
二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将含根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{x n }来逼近根x *。
用该方法求f(x)=0的近似解可分两步做：第一步，确定根的近似位置或大致范围，即确定一个区间[a,b],使所求根是位于这个区间内的唯一实根。
这个区间称为根的隔离区间，这可以通过函数作图达到：先画出y=f(x)的图形，然后从图上定出它与x 轴交点的大概位置。
第二步，以根的隔离区间[a,b]的端点作为根的初始近似值，用二分法逐步改进根的近似值的精确度，直至求得满足精确度的近似解。
具体步骤如下：取[a,b]的中点x 0=(a+b)/2，若f(x 0)=0，则x 0就是f(x)=0的根x *。
若f(a)f(x 0)<0，则根x *必在区间(a,x 0)内，取a 1=a, b 1=x 0；否则根x *必在区间(x 0,b)内，取a 1=x 0, b 1=b 。
这样，得到新区间[a 1,b 1]，其长度为[a,b]的一半。
如此继续下去，进行n 等分后，得到一组不断缩小的区间序列[a,b], [a 1,b 1], [a 2,b 2],…, [a n ,b n ],…,和对应区间的中点数列x n =(a n +b n )/2, n=0,1,2,…, 其中每个区间都含有根x *，满足[a,b]⊃[a 1,b 1] ⊃[a 2,b 2] ⊃…⊃ [a n ,b n ] ⊃…且每个区间的长度都是前一区间长度的一半。
由于[a n ,b n ]的长度为(b-a)/2n ,当n 不断变大时，这些区间将收敛于一点x *，该点即为所求的根。
当做到第n 步时，有1*1122||()()n n n n x x b a b a +-≤-=-选择适当的步数n ，就可达到满意的精度。
用二分法，理论上区间中点序列{x n }将收敛到根的真值，但收敛速度较慢，所以通常用二分法为其他方法提供初步的近似值。
（2）简单迭代法迭代法的基本原理是构造一个迭代公式，反复用它得出一个逐次逼近方程根的数列，数列中每一项都是方程根的近似值，只是精度不同。
简单迭代法也成逐次迭代法，是非线性方程求根中各类迭代法的基础。
由于对方程作等价变换根不发生变换，将方程f(x)=0等价变换为()x x ϕ=，构造迭代计算公式1()n n x x ϕ+=。
取定初值x 0，算出数列{x n }。
如果{x n }收敛于x *，则有**1lim lim ()(lim )()n n n n n n x x x x x ϕϕϕ+→∞→∞→∞====这说明，x *就是方程f(x)=0的根。
上面()x x ϕ=称为不动点方程，()x ϕ称为迭代函数，数列{x n }称为迭代数列。
（3）牛顿迭代法如果f(x)在[a,b]上具有二阶导数，f(a)f(b)<0，且f'(x)与f''(x)在[a,b]上保持同号，这时可采用牛顿迭代法求方程f(x)=0在(a,b)内的惟一实根。
牛顿迭代法将非线性方程线性化处理为近似方程，然后用近似方程获得求根的迭代公式。
具体做法如下：设x n 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在x k 处作泰勒展开，得f(x)=f(x k )+f'(x k )(x-x k )+(f''(x k )/2!)(x-x k )2+…取前两项来近似代替f(x)，则得近似线性方程f(x)≈f(x k )+f'(x k )(x-x k )=0如果f'(x k )≠0，令其解为x k+1，得x k+1=x k-f(x k)/f'(x k), k=1,2,.. （1-1）上式称为f(x)=0的根的牛顿迭代格式。
牛顿法具有明显的几何意义，方程y=f(x k)+f'(x k)(x-x k)是曲线在点(x k, f(x k))处的切线方程。
迭代方程（1.1）就是切线与x轴交点的横坐标，所以牛顿迭代法就是用切线与x轴交点的横坐标近似替代曲线与x轴交点的横坐标。
因此牛顿法也称切线法，是非线性方程求根方法中收敛最快的方法。
2. matlab中方程求解的基本命令roots(p)：求多项式方程的根，其中p是多项式系数按降幂排列所形成的向量。
solve(fun)：求方程fun=0的符号解，如果不能求得精确的符号解，可以计算可变精度的数值解。
solve(fun,var)：对指定变量var求代数方程fun=0的符号解。
fsolve(fun,x0)：用最小二乘法求非线性方程fun=0在估计值x0附近的近似解。
fzero(fun,x0)：求函数fun在x0附近的零点。
四、实验过程1、编写二分法求根程序，求方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0实根的近似值，使误差不超过10-3。
解：（1）求根的初始隔离区间在matlab工作区输入命令：ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4')图1-4画出曲线图1-4。
由上图可知，根应在-2和2之间，进一步画出该部分的图形。
ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4',[-2,2])图1-5由图1-5可见，根在0.5与1之间。
（2）编写程序如下：f=input('输入函数：f(x)=');qujian=input('输入区间=');err=input('输入误差=');a=qujian(1);b=qujian(2);yc=1;while ((b-a)>err)&(yc~=0)c=(a+b)/2;x=a; ya=eval(f);x=b; yb=eval(f);x=c; yc=eval(f);if ya*yc<0b=c;elsea=c;endx0=cend存为文件erfenfa.m调用erfenfa得到如下结果：>> erfenfa输入函数：f(x)='x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4'输入区间=[0,1]输入误差=0.001x0=0.5000x0=0.7500x0=0.6250x0=0.6875x0=0.6563x0=0.6719x0=0.6641x0=0.6680x0=0.6699x0=0.6709由此得到，方程的根的近似值为0.6709.2、编写牛顿迭代法求根程序，求1中方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的实根的近似值，并计算迭代次数为6的近似根。
解：由1可知，[0.5,1]是根所在的区间，在[0.5,1]上f(x)= x3+1.1x2+0.9x-1.4f'(x)=3*x2+2.2x+0.9, f''(x)=6x+2.2f'(x)与f''(x)在[0.5, 1]上保持同号，f(1)>0与f''(1)同号，所以取x0=1为迭代初始值。