2011年全国高中数学联赛模拟试题一一试一．填空题（每小题8分，共64分）1．函数254()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 ．2. 函数xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域是 ．3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于 ．4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a = ．5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且OM ON ⊥,(O 为原点),当椭圆的离心率]2e ∈时,椭圆长轴长的取值范围是 ．6．函数 y =的最大值是 ．7．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 ．8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ． 二.解答题（共56分）9.（16分） 已知定义在R 上的函数()f x 满足：5(1)2f =，且对于任意实数x y 、，总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立.（1）若数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1()f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论.10.（20分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．11.（20分）若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。

加试一．（40分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：214y x =．实数,p q 满足 24p q -≥0，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{,}p q x x ϕ=．（1）过点2001(,)4A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=；（2）设{(,)|D x y y =≤1x -，y ≥215(1)}44x +-．当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）.二．（40分）如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆； （Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的弧ＡＢ上一点，满足：3AE AB =，31BCEC=-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是圆Ｏ的切线，2AC =，求()f P 的最小值．二题图三．（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。

如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。

现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。

问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。

四．（50分）求证：对1,2,3,i =均有无穷多个正整数n ，使得,2,28n n n ++中恰有i 个可表示为三个正整数的立方和。

模拟试题一参考答案第一试一． 填空题（每小题8分，共64分）1.2．当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2. 121,11,22⎡⎫⎛⎤----⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦设t =s inx +co s x =).4sin(2cos 22sin 222π+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 因为,1)4sin(1≤+≤-πx 所以.22≤≤-t 又因为t 2=1+2s inxco s x ,所以s inxco s x =212-t ，所以211212-=+-=t t x y ，所以.212212-≤≤--y 因为t ≠-1，所以121-≠-t ，所以y ≠-1.所以函数值域为.212,11,212⎥⎦⎤⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-∈ y 3. 8161。

甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。

由不等式a −2b +10>0得2b <a +10，于是，当b =1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b =6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b =7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b =8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b =9时，a 只能取9，有1种。

于是，所求事件的概率为816181135745=++++。

4.112(1)n n n -+。

1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++， 即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ，由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ． 令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ．5. 5,6。

由222211x y a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,可得2222222()20a b x a x a a b +++-= ①由OM ON ⊥得12120x x y y +=,即12122()10x x x x -++=,将212222a x x a b +=-+,2221222a a b x x a b -=+代入得22112a b +=,即22112b a =-,32c a ≤≤,得 2211132b a ≤-≤,得221223b a ≤≤,有2231(2)22a a≤⋅-≤,526a ≤≤6. 63[15]，，且0y >。

5125y x x =--22225(2)(1)(5)x x ≤+-+-2743=⨯=2155x x -=-，等号成立，即12727x =时函数取最大值637. 21)。

由条件得 9631-+-=-+-y x y x --------①当9≥y 时，①化为661-=+-x x ，无解；当3≤y 时，①化为661-+=-x x ，无解；当93≤≤y 时，①化为 16122---=-x x y -------②若1≤x ，则5.8=y ，线段长度为１；若61≤≤x ，则5.9=+y x ，线段长度为25；若6≥x ，则5.3=y ，线段长度为４．综上可知，点C 的轨迹的构成的线段长度之和为()1254251+=++。

8. 723如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．答图 2因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则222211(3)22PP PO OP r r r =-=-=． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF，如答图2．记正四面体 的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有113cos 226PM PP MPP r r =⋅==，故小三角形的边长1226PE PA PM a r =-=-． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）1PAB P EF S S ∆∆-223(26))a a r =--23263ar r =-．又1r =，46a =124363183PAB PEF S S ∆∆-== 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723二． 解答题（共56分） 9.解:（1）令1,0x y ==，()()()()1011f f f f ∴⋅=+，又5(1)2f =，()02f ∴=. 令0x =，得 (0)()()()f f y f y f y =+-，即2()()()f y f y f y =+-∴()()f y f y =-对任意的实数y 总成立， ()f x ∴为偶函数. 令1x y ==，得 ()()()()1120f f f f =+，∴25(2)24f =+，∴17(2)4f =.∴11752(2)(1)622a f f =-=-=. 令1,1x n y =+=，得(1)(1)(2)()f n f f n f n +=++，∴5(2)(1)()2f n f n f n +=+-. ()()()()()()()152212114122n a f n f n f n f n f n f n f n +⎡⎤∴=+-+=+--+=+-⎢⎥⎣⎦2[2(1)()]2(1).n f n f n a n =+-=∴{}n a 是以6为首项，以2为公比的等比数列. ∴162n n a -=⨯.（2）结论：12()()f x f x <. 证明：∵0y ≠时，()2f y >, ∴()()()()2()f x y f x y f x f y f x ++-=>，即()()()()f x y f x f x f x y +->--.∴令x ky =（k ∈+N ），故k ∀∈+N ，总有[(1)]()()[(1)]f k y f ky f ky f k y +->--成立. 则[(1)]()()[(1)]f k y f ky f ky f k y +->--[(1)][(2)]()(0)0f k y f k y f y f >--->>->.∴对于k ∈+N ，总有[(1)]()f k y f ky +>成立. ∴对于,m n ∈+N ，若n m <，则有()()1()f ny f n y f my <-<<⎡⎤⎣⎦成立.∵12,x x ∈Q ，所以可设121212||,||q qx x p p ==，其中12,q q 是非负整数，12,p p 都是正整数，则1212121212||,||q p p q x x p p p p ==，令121y p p =，1212,t q p s p q ==，则,t s ∈+N .∵12||||x x <，∴t s <，∴()()f ty f sy <，即12(||)(||)f x f x <. ∵函数()f x 为偶函数，∴1122(||)(),(||)()f x f x f x f x ==.∴12()()f x f x <.10解：∵1122n n n nba a a n --=+-，∴1122n n n a ba n a n --=+-，∴1211n n n n a b a b --=⋅+ ① 当2b =时，1112n n n n a a ---=，则{}n n a 是以12为首项，12为公差的等差数列 ∴11(1)22n n n a =+-⨯，即2n a = ② 当0b >且2b ≠时，11211()22n n n n a b b a b--+=+-- 当1n =时，122(2)n n a b b b +=-- ∴1{}2n n a b +-是以2(2)b b -为首项，2b为公比的等比数列∴112()22n n n a b b b+=⋅-- ∴212(2)2(2)n n n n nn n b a b b b b b-=-=--- ∴(2)2nn n nn b b a b -=-综上所述(2),02222nn n n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且， （2）方法一：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，12212(2)(222)n n n n n n b b b b b -----=-++++1221222nnnn n n n nnn ba b b b ----⋅=≤=++++1112111111222222222n n n n n n n n n n bb b b+++----+++=====<=⋅1112n n b +++ ∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．方法二：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+，只需证11(2)122n n n n n nb b b b ++-≤+-， 即证1(2)122n n n nn b b b b +-≤+- 即证1221112222n n n n n nn b b b b b ----+≤+++++ 即证122111()(222)2n n n n n n b b b b n b ----++++++≥即证2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b nb b b b---+-+++++++++≥∵2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b ---+-+++++++++2121232111222()()()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b----+=++++++++122n nb n -≥+=， ∴原不等式成立。