够小对的于面有元向ds，曲于面是s，通总过可曲以面将ss的分通成量许N多为足
v
θ
每一面元通量之和
N vds
ds
s
对于闭合曲面s，通量N为 N vds
2、散度
s
设封闭曲面s 所包围的体积为V，则 Ads/V
就是矢量场
A(x)
在
s
V中单位体积的平均通量，或者平均发
散量。当闭合曲面s 及其所包围的体积 V向其内某点 M(x)
等值面 c2
cos lim
n0 n
p1
cos
n
p1
即 cos
l
n
.
该式表明：
co sn ˆlgra ld
l
n n
即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。
梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 (x)
在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。
5、算符（哈密顿算符）
算符既具有微分性质又具有矢量性质。在任意方
增量为
(p2)(p1)
若下列极限
lim lim (p2)(p1)
l 0l l 0
l
存在，则该极限值记作 ，称之为标量场
的方向l导数。
l Pl
在(px)1处沿
3、梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场
(在x) 一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过 该点沿某一确定方向取得 (在x)该点的最大方向导数，
收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作
.
A ds
diAvAlims V0 V
称为矢量场 A(x)在该点的散度(div是divergence的缩写)。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的
强弱程度，当div A0，表示该点有散发通量的正源；
当div
A0
，表示该点有吸收通量的负源；当div
.
2、方向导数
方向导数是标量函数 (在x)一点P处沿任意方向
对距离的变化率，它的数值与所取的方向 l有关， 一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但
它并不是矢量。如图所示， l为 l 场P 中的任意方向，P1 是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一
点。
P2
l
P1
.
为l p2和p1之间的距离，从p1沿l到p2标量函数(x)的
向。
.
p
nˆ
0
θ
p
p2
l
1等值面 等值面 c2 c1显见， 当p1p2 0, p1p0 0时,
p1p2
p1p0
cos
.
p
p
nˆ
0
θ
p2
l
所以 lim ( p2 ) ( p1 ) 1
l
P1
p1 p0 0
cos
lim
p1
p2 (p
0
)
(
p1
等值面
) c1
p1 p0 0
p1 p0
场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常 要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理 量是标量，那么空间每一点都对应着该物理量的一个确 定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。 如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小 和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若 场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否 则，称为不稳定场。
第0章
数学预备知识—矢量、场论
本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念 及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之 间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运 算和算符 运算的重要公式。
.
本章主要内容
●矢量运算 ●标量场的梯度 算符 ●矢量场的散度 高斯定理 ●矢量场的旋度 斯托克斯定理 ●在正交曲线坐标系中 算符的表达式 ●二阶微分算符 格林定理
(2) d(a vbv)da vbva vdbv
dt dt
dt
若 a v b v 则有 d (a v b v ) d (a 2 ) 2 a v d a v 2 a d a
(3) d(a vb v)da vd t b va vd dt b v
d t
d t
dt dt
dt
.
§0-2 场论分析
一、标量场的梯度， 算符 1、场的概念
A0，
表示该点为无源场。
3、高斯定理 A dsA dV
s
V
它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体
积分，反之亦然。
.
4、散度的运算法则：
( a b ) a b
(a ) a a
F()dF
d
例1：求 (rc)。其中 r
x2y2z2 ，c c 1 i c 2 j c 3 k
ax bx
ay by
az bz
a
cx cy cz
满足旋转定律
b
c
3、三重矢积
a v ( b v c v ) ( a v c v ) b v ( a v b v ) c v a v (b v c v ) (b v c v ) a v 不满足交换定律
.
4、矢量求导法则
(1) d(fav)f davdf av dt dt dt
.
§0-1 矢量运算
1、两矢量标量积与矢量积
a v b v a x b x a y b y a zb z
avbv(aybz
v azby)i (azbx
v axbz)j (axby
v aybx)k
v vv
i jk
ax ay az bx by bz
.
2、混合积
av(bvcv)bv(cvav)cv(avbv)
为常矢量
解：(rcv)(xivyvjzkv)(rc1ivrc2vjrc3kv)
向ld 上移 动线d 元x 距 离dd ly ， 的增d 量z d 称d 为l方 向微分d lr，即 x y z l .
(ir
r j
kr)(dxir
r dyj
r dzk)
x y z
(
r i
r j
r
r
k)(dxi
r dyj
r
rr
dzk)(dxi dyj
r dzk)
x y z
读作“del”，或“nabla”
.
则可引进梯度概念。记作 gradnˆ
称之为(x在) 该点的梯度（grad 是gradient缩n写），
它是一个矢量，其大小|grad|(l ，)ma其x 方n
向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 nˆ
方向。
4.方向导数与梯度的关系：
nˆ是等值面 上cp1 1点法线方
向单位矢量。它指向 增加的 方向。 表l示过p1点的任一方
在直角坐标系中的表示
i j k x y z
二 矢量场的散度 高斯定理
1、通量
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 v方向通过 ds
的流量是dN，而dN是以ds为底，以v cosθ为高的斜柱体的体
积，即 d v N cd o v s d s s
.
称为矢量v通过面元ds的通量。
nˆ