圆锥曲线中的垂径定理 专题学案一、能力提升二、概念及相关典型例题(一) 圆中的垂径定理（问题背景：直线斜率存在）图1 图2 图3 （1）如图1，在圆O 中，E 为弦AB 中点，则OE ⊥AB ，即1-=⋅AB OE k k （2）如图2，在圆O 中，l 与圆O 相切于E 点，则OE ⊥l ，即1-=⋅AB OE k k .（若切点坐标为),(00y x E ，可得切线l 方程：200r y y x x =+）（3）如图3，AB 为圆O 直径，E 圆上异于A 、B 两点的动点，则BE ⊥AE ，即1-=⋅BE AE k k .（二）圆锥曲线中的垂径定理（问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下）1.椭圆中的垂径定理（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例）图1 图2 图3 （1）如图1，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE -=⋅; （证明：用点差法）（2）如图2，在椭圆C 中，l 与椭圆相切于E 点，则22ab k k l OE -=⋅;（证明：法一：极限思想，当A 无穷接近B 点；法二：换元法变换为122='+'y x 证明即可；法三：导数）（3）如图3,l 过中心O,交椭圆于A,B 两点,E 是椭圆上异于A 、B 点的动点则22ab k k AEBE -=⋅. （证明：取AE 重点M ，连接OM ，即可用（1）证明）2.双曲线中的垂径定理（以焦点在x 轴的双曲线方程)00(12222>>=-b a by a x ，为例）图1 图2 图3 图4 图5（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）如图3，l 与双曲线相切于E 点，则22ab k k l OE =⋅;（3）如图4，过O 点的l 交双曲线于A,B 两点，E 是双曲线上异于A 、B 点的动点,则22ab k k AEBE =⋅. （4）如图5，l 交上双曲线两渐近线于A,B 两点，E 为线段AB 的中点，则22ab k k AB OE =⋅. 【注意：若焦点在y 轴上的双曲线方程)00(12222>>=-b a b x a y ，，则上面斜率乘积结论变为：22ba ，即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k 22ba k k AEBE =⋅】（三）例题点评1.例题初探【例1】过点M(1,1)作斜率为21-的直线与椭圆)0(12222>>=+babyaxC：相交于A,B两点，若M是线段AB的中点，则该椭圆的离心率为.【解析】方法一：点差法方法二：由垂径定理，22)21(11abkkABOM-=-⨯=⋅，2122222=-=acaab，即2112=-e，因为0<e<1,所以解的22=e【例2】已知A、B为椭圆)0(12222>>=+babyax的左右顶点，P为椭圆上异于A、B的点，PA、PB的斜率分别为21,kk，且4321-=kk，则该椭圆的离心率为【解析】答案为21=e圆、椭圆与双曲线中的垂径定理可以归结为（统称为有心圆锥曲线）：（1）若方程，且0(122>>=+nmnymx或0<mn）存在以上关系，则上述结论可表述为：mn-，即=⋅ABOEkk=⋅lOEkkmnkkAEBE-=⋅，其中nm，分别是22,yx系数的倒数.（2）若方程)0,0(122<>>=+ABBAByAx或且存在以上关系，则上述结论可表述为：BA-，即=⋅ABOEkk=⋅lOEkkBAkkAEBE-=⋅，其中BA，分别是22,yx系数.【例3】设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的顶点为21,A A ，P 为双曲线上一点，直线1PA 交双曲线C 的一条渐近线于M 点，直线M A 2和P A 2的斜率分别为21,k k ，若12PA M A ⊥且0421=+k k ，则双曲线C 离心率为（ ）A 、2B 、25C 、5D 、4【解析】利用双曲线过中心弦结论2221a b k k PA PA =，即22114141ab k k ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 答案：B 【例4】已知A 、B是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的两个顶点，P 是双曲线上异于A 、B 的另一点，P 关于y 轴的对称点为Q ，记直线AP 、BQ 的斜率分别为21,k k ，且5421-=k k ，则双曲线的离心率为【解析】1k k AQ -=，由垂径定理得235411221=⇒=-=-e e k k 答案：23【例5】过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交于A 、B 两点，记线段AB 的中点为M ，且FM 等于半焦距，则双曲线的离心率=e【解析】 0>>b a ，∴双曲线的开口较小，渐近线斜率的绝对值比1小，故直线与双曲线的交点都位于y 轴左侧，当直线竖起来时中点即F ，而直线斜率为1，故中点M 位于第三象限，由 135=∠MFO ，FO FM =（O 为坐标原点），∴125.22tan -== OM k由垂径定理得21122=⇒-=⋅e e k OM 答案：42【例6】已知直线l 的斜率为1，且与双曲线2212x y -=相切于第一象限于点A ，则点A 的坐标为______.【解析】法一：因为直线l 的斜率为1，所以设:l y x m =+代入双曲线2212x y -=得224220x mx m +++=因为直线与双曲线相切，所以0∆=，即()22164220m m -+=，解得1m =±当1m =时，22112yx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩， 当1m =-时，22112y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩ 因为切点A 在第一象限，所以点()2,1A .故答案为：()2,1. 法二：设切点坐标为()00,y x A ，由垂径定理得：212200===⋅a b x y K K l OA ，又因为点()00,y x A 在双曲线上，可得：12202=-y x解得10=y ，所以20=x ，所以点()2,1A .故答案为：()2,1.2.提高与巩固例题【例1】已知直线l 交椭圆805422=+y x 于M 、N 两点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l 的方程为【解析】设),(11y x M ，),(22y x N ，)4,0(B ，由重心公式得6021=++x x ，0421=++y y 【三角形ABC 重心的坐标公式为)3,3(321321y y y x x x ++++，其中),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 】∴线段MN 的中点为)2,3(-D ，由垂径定理得5412-=-=⋅e k kMN OD （O 为坐标原点）∴56=MN k ，∴直线l 的方程为02856=--y x 【例2】已知椭圆1422=+y x ，P 是椭圆的上顶点，过P 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ， （1）求△PAB 面积的最大值（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围【解析】（1）B PAB x x x S =-=∆2121，∴面积最大为2 （2）方法一（与椭圆联立）： 4122-=-=a b k k BPAP ，∴k k kk BP 441=⇒-=中垂线，N 刚到下顶点)1,0(-时，中垂线14-=kx y ，PB ：141+-=x ky 与椭圆联立可求得⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+1414,148222k k k k B ∴PB 中点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++144,144222k k k k M 在中垂线上，代入得42±=k 方法二（与直线联立）：由垂径定理得4112-=-=e kk BP ，∴PB ：141+-=x ky 与边AP 平行的中位线kx y =联立得PB 中点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++144,144222k k k k M ，由M 与)1,0(-构成的中垂线斜率k k k k k 41441144222=+++，解得42±=k【例3】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 两条渐近线分别交于A ，B ，若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率是【解析】方法一（垂径定理）：记M 为PM 的中点，则PM ：033=-+m y x 与直线AB 联立，容易得)53,54(m m M 由垂径定理得141122-=⇒-=e e k k PM AB 答案：25方法二（暴力计算）直线分别与两条渐近线联立得)3,3(a b bm a b am A --，)3,3(ba bmb a am B ++- ∴AB 的中点为)93,9(222222a b m b a b m a --，所以线段AB 的中垂线斜率为3923222-=-=ba b k 方法三（渐近线点差法）：设AB 中点为),(00y x ，则由点差法知310202==y a x b k又中点在直线上，故0300=+-m y x ①，由PB PA =得300-=-mx y ② 由①②得34333000000=⇒+=-=x y x y x y m ，∴4122=a b 【例4】已知某椭圆的焦点是)0,4(),0,4(21F F -，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且10||||21=+B F B F ．椭圆上不同的两点),(),,(2211y x C y x A 满足条件：||||||222C F B F A F 、、成等差数列．三、能力提升1.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过原点的直线交椭圆于点P 、A 两点（其中点P 在第一象限），过点P 作x 轴的垂线，垂线为C ，连AC 并延长交椭圆于B ，若PB PA ⊥，则椭圆的离心率为【解析】记1k k PB =，2k k AB =，延长PC 交椭圆于D ，连AD ，由初中几何知识得22k k AP =，由PB PA ⊥得1221-=k k ，由垂径定理得1221-=e k k 答案：222.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，右顶点为A ，P 为双曲线右支上一点，1PF 交双曲线的左支于点Q ，与渐近线x aby =交于点R ，线段PQ 的中点为M ，若12PF RF ⊥，1PF AM ⊥，则双曲线的离心率为【解析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得c OR =，故),(b a R ∴ca bk PQ +=由垂径定理得2222)(1a c a b k a b e k k OM PQOM +=⇒=-=⋅联立直线PQ ：)(c x c a b y ++=与直线OM ：x ac a b y 2)(+=得)2)(,2(2c a c a b c a a M +++，)0,(a A 由2)(ac a b b c a k AM +=+-=得0202222=--⇒=+-e e ac c a ，解得2=e 答案：23.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点分别为A 、B ，P 为第一象限内一点，且AB PB ⊥，连接PA 交椭圆于点C ，连BC 、OP ，若BC OP ⊥，则椭圆的离心率为【解析】1k k PA =，2k k BC =，由初中几何知识得12k k OP =， 1221-=k k ，∴由垂径定理得211221-=-=e k k22=⇒e 答案：224.如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线B F 1与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线MN 与x 轴交于点M ，若212F F MF =，则C 的离心率是 。