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武汉理工大学考试试题纸(A卷)(闭卷)

武汉理工大学考试试题纸(A 卷)(闭卷)————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:武汉理工大学考试试题纸(A 卷)(闭卷)课程名称 概率统计 专业班级 题号 一二三四五六七八九十总分题分备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)1.填空题(15分)(1)设随机事件A ,B 互不相容,且3.0)(=A P ,6.0)(=B P ,则=)(A B P (2)设随机变量X 服从(-2,2)上的均匀分布,则随机变量2X Y =的概率密度函数为=)(y f Y .(3)设随机变量X 和Y 的期望分别为2-和2,方差分别为1和4,0.5XY ρ=-,由切比雪夫不等式,(6)________P X Y +≥≤ .(4)设某种清漆干燥时间),(~2σμN X (单位:小时),取容量为n 的样本,其样本均值和方差分别为2,X S ,则μ的置信度为1-α的单侧置信上限为: .(5)设),,,(21n X X X Λ为取自总体),(~2σμN X 的样本,参数2,σμ均未知,∑==n i i X n X 11,212)(X X Z n i i -=∑=,则对于假设00=μ:H 作t 检验时,使用 的检验统计量T = (用X 与Z 等表示).2.(10分)设有一箱同类产品是由三家工厂生产的,其中1/2是第一家工厂生产的,其余两家各生产1/4,又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品,现从箱中任取一件产品,求:(1)取到的是次品的概率;(2)若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。

3. (10分)设随机变量X 的概率分布为f xA x x ()=<<⎧⎨⎩,,其它010,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{}X ≤12出现的次数,试确定常数A ,并求概率PY {}=2。

4. (15分)设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y 求:(1)随机变量X 的密度函数)(x f X ;(2)概率}1{≤+Y X P 。

5. (10分)已知随机变量X 、Y 分别服从正态分布)3,0(2N 和)4,2(2N ,且X 与Y 的相关系数ρX Y =-12/,设Z X Y =+//32,求:(1)数学期望E Z ,方差D Z ;(2)X 与Z 的相关系数ρXZ 。

6. (10分)证明:(马尔科夫定理)如果随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X ,满足0)(1lim 12=∑=∞→nk k n X D n 则对任给0>ε,有1)(11lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εn k k n k k n X E n X n P . 7. (15分)设),(~2σμN X ,n X X X ,,,21Λ是取自总体的简单随机样本,X 为样本均值,2n S 为样本二阶中心矩,2S 为样本方差,问下列统计量:(1)22σnnS ,(2)1/--n S X n μ,(3)212)(σμ∑=-ni iX各服从什么分布?8.(15分)设总体X 服从区间[0,θ]上的均匀分布,θ>0未知,12,,,n X X X K 是来自X 的样本,(1)求θ的矩估计和极大似然估计;(2)上述两个估计量是否为无偏估计量,若不是请修正为无偏估计量;(3)试问(2)中的两个无偏估计量哪一个更有效?答案1.(15分)(1)4/7;(2)104()4Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他;(3)112(4)上限为(1)SX t n nα+-; (5))1(-n n ZX2.(10分)解:设事件A 表示:“取到的产品是次品”;事件i A 表示:“取到的产品是第i 家工厂生产的”(i =123,,)。

则A A A 123Y Y =Ω,且PA i ()>0,A A A 123、、两两互不相容,(1) 由全概率公式得∑=⋅=31)|()()(i i i A A P A P A P 40013100541100441100221=⨯+⨯+⨯=(2)由贝叶斯公式得 P A A (|)1=∑=3111)|()()|()(j jj A A P A P A A P A P 13440013100221=⨯= 3. (10分)解:由归一性⎰⎰∞+∞-===2)(110AAxdx dx x f 所以A =2。

即 ⎩⎨⎧<<=其它,,0102)(x x x f412)()21(}21{21021====≤⎰⎰∞-xdx dx x f F X P所以)413(~,B Y ,从而 }2{=Y P =64943)41(223=⨯C4. (15分)解:(1)x ≤0时,f x X ()=0; x >0时,f x X ()=fx y d y ed y e y xx(,)==--+∞-∞+∞⎰⎰ 故随机变量X 的密度函数f x X ()=e xx x -<≤⎧⎨⎩,,000(2)PX Y {}+≤1==--+≤⎰⎰⎰⎰f xy d x d y d x e d y y xxXY (,)10121=+---e e 112125. (10分)解:(1)由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得E Z 1221031)2()3()23(=⨯+⨯=+=+=Y E X E Y X E D Z =+=++D X Y D X D Y X Y ()()()()3232232C o v , DY DX DY DX XY ρ21312213122⨯⨯++=324143)21(213124213312222=-+=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯+⨯=(2)C o v C o v C o v C o v ()()(,)(,)X Z X X Y X X X Y ,,=+=+13121312=+=13120D X DXD Y X Y ρ 从而有X 与Z 的相关系数ρX Z XZ D X D Z==C o v (,)6. (10分)证明: )(1)1(),(1)1(12111∑∑∑∑======nk k n k k n k k n k k X D n X n D X E n X n E ,由切贝雪夫不等式,得22111)(1)(11lim εεn X D X E n X n P nk k n k k n k k n ∑∑∑===∞→-≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-,根据题设条件,当∞→n 时, 1)(11lim 11≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εnk k n k k n X E n X n P ,但概率小于等于1,故马尔科夫定理成立. 7. (15分)解:(1)由于)1(~)1(222--n S n χσ,又有21221)(1S nn X X n S n i i n-=-=∑=22)1(S n nS n-=,因此)1(~222-n nS nχσ;(2)由于)1(~/--n t nS X μ,又有1-=n S nS n ,因此)1(~1/---n t n S X n μ;(3)由),,2,1)(,(~2n i N X i Λ=σμ得:),,2,1)(1,0(~n i N X i Λ=-σμ,由2χ分布的定义得:)(~)(2212n Xni iχσμ∑=-.8.(15分)解:(1)2EX θ=,令2X θ=,得θ的矩估计量1ˆ2X θ=; 似然函数为:()12121,0,,,(,,,;)0n n n x x x L x x x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩K K ,其它其为θ的单调递减函数,因此θ的极大似然估计为{}212()ˆmax ,,,n n X X X X θ==K 。

(2) 因为1ˆ2E EX θθ==,所以1ˆθ为θ的无偏估计量。

又因为()n X 的概率密度函数为:1()1,0()0,n n x n x f x θθθ-⎧⎛⎫<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其它 所以1()011n n x n EX xn dx n θθθθ-⎛⎫==⎪+⎝⎭⎰因此2ˆθ为θ的有偏估计量,而3()1ˆn n X nθ+=为θ的无偏估计量。

(3) 221/12ˆ443D DX nnθθθ==⨯=,23(2)212202211ˆ11111ˆ(2)(2)3n n D DX n n x n x n dx n n D n n n nθθθθθθθθ-+⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=>=≥+⎰ 于是3()1ˆn n X nθ+=比1ˆ2X θ=更有效。

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