2018/10/31
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第4章 线性系统二次型性能指标的最优 控制问题
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
一：概述
f y T Ay aij yi y j
i , j 1
m
实二次型：
f 0正定，f 0半正定 f 0负定，f 0半负定
1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<2>伺服系统（随动系统）
e(t ) yr (t ) y (t )
二.状态调节器 1.已知
以不大的能量是系统输出跟随给定的 输出而变化。
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )V (t ), x(t0 ) x0
1 1 tf T J xT (t f ) Fx (t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
Yr(t)表示预期输出，e(t)为广义误差。寻求最优控制u*(t)， 使下面二次型性能指标最小。 1 T 1 tf T J e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uT (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0 其中，F是q×q半正定常数矩阵 Q(t)是q×q半正定矩阵 R(t)是p×p正定矩阵。 （R 1 (t )要存在） 2.性能指标J
则
(t f ) Fx(t f )
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④控制方程： H 0 u H Ru BT 0 u (t ) R 1BT u
2H u 2
R 0 则u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) (t )
x(t f ) 11x(t ) 12 (t ) (t f ) 21x(t ) 22 (t ) Fx (t f ) F11x 12 ① ② ③
则②=③
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t [t0 , t f ]
又由横截条件： (t f ) FX (t f )
21x 22 F12 x F12 （22 F12 ) ( F11 21) x
1 T 1 e (t )Q(t )e(t ) 2
用以衡量误差大小
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1 tf T e Qedt 2 t0 表示t0 t f 的总误差
1 T 2 u (t ) R(t )u (t ) 用以衡量控制功率的大小 2 tf T t0 u Rudt 表示控制能量
寻求u*(t),使J最小。<X(tf)自由，tf有限>
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求解：①构造哈密顿函数：
H F T f
1 T 1 T H X Qx U Ru T Ax T Bu 2 2 H ②协调方程： x 1 Qx 1 ( xT Q)T (T A)T Qx AT 2 2 1 T [ x FX ] 2 ( t ) ③横截条件 f x(t f ) x(t f )
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ), y(t ) c(t ) x(t ) x
其中，x(t)是n维状态向量，u(t)是p维控制向量，y(t)是q维输 出向量，u(t)不受约束。A(t),B(t),C(t)是分段的时间连续函数
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<实际中不用上式来求P(t)，过于复杂，采用如下方法;> 2.黎卡提矩阵微分方程 考察 (t ) P(t ) x(t ) 两边对t求导
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
3.分类
<1>调节器问题.yr(t)=0 ①状态调节器
t [t0 , t f ]
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(t , t0 ) 2n 2n 的状态转移矩阵
当t t f 时，又t [t0 , t f ] 都可作为初始时刻<分块>
x(t f ) 11(t f , t ) 12 (t f , t ) x(t ) ( t ) ( t , t ) ( t , t ) ( t ) 22 f f 21 f
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) ห้องสมุดไป่ตู้ R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )