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全国 2018 年 4 月高等教育自学考试
复变函数与积分变换试题
课程代码： 02199
一、单项选择题 (本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分 )
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，
请将其代码填写在题后的括
号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设 z=3+4i, ，则 Re z 2=( )
A ．-7
B ． 9
C ． 16
D ．25 2．下列复数中，使等式
1
=-z 成立的是 (
)
z
A ． z=e 2
i B ． z=e
i
i
3 i
D ． z= e 4
C ． z= e 2
3．设 0<t ≤ 2 , 则下列方程中表示圆周的是 (
)
A ． z=(1+i)t
B ． z=e it +2i
C ． z=t+
i
D ． z=2cost+i3sint
t
4．下列区域为有界单连通区域的是 (
)
A ． 0<|z-i|<1
B ． 0<Imz<
C ． |z-3|+|z+3|<12
3
D ． 0<argz<
4
5．若 f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数，则 f (z)=(
)
A ．
u i
u
B ．
v v
x
y
y
i
x C ． u
i v D ． v i
v
x
x
y
x
A , z 0
6．设 f(z)=
e z 1 z 在整个复平面上解析，则常数
A=(
)
z , 0
A ． 0
B ． e -1
C ． 1
D ． e
7．设 f(z)=ax+y+i(bx+y) 是解析函数，则实常数 a,b 为 (
)
A ． a=-1,b=1
B ． a=1, b=1
1
C． a=-1,b=-1 D ． a=1,b=-1
8．设 z 为复数，则e-iz=()
A ． cosz+isinz
B ． sinz+icosz
C． cosz-isinz D ． sinz-icosz
9．设 f(z) 和 g(z)在有向光滑曲线 C 上连续，则下列式子错误的是()
．．
A ．g( z)f ( z)dz g( z) f ( z)dz
C z
B ． f (z)dz f (z)dz, 其中 C－为
C 的反向曲线
C C
C．( f ( z) g(z))dz f ( z)dz g(z)dz
C C C
D ．3f (z)dz 3 f (z)dz
C C
10．设 C 为从 -I 到 I 的左半单位圆周，则| z | dz ( )
C
A ． i
B ． 2i
C． -i D ． -2i
11．设 C 为正向圆周 |z|=2, 则下列积分值不为 0 的是 ( )
．．
A ．z dz
B ．z3coszdz
C z 1 C
C．sin z dz D ．e z dz
C z C z 3
12．设 D 是单连通区域， C 是 D 内的正向简单闭曲线，则对 D 内的任意解析函数f(z) 恒有( )
A ． f(z)= 1 f ( ) d , z 在 C 的外部
2 i C z
1 f ( )
d ， z 在 C 的内部， n≥ 2
B ． f (n)(z)=
i C ( z) n 1
2
n! f ( )
d ，z 在 C 的内部， n≥ 2
C． f (n)(z)=
i C ( z) n
2
n! f ( )
d ，z在C的内部，n≥2
D ． f (n)(z)=
i C ( z) n 1
2
13．复数列的极限lim e in 是 ( )
n n
A ． 1+i
B ．
C．1D．0
2
14． z=i 是 f(z)= 1 的 ( )
( z 2 1) 2
A ．一阶极点B．二阶极点
C．本性奇点D．解析点
15．映射 w=2z+z 2在点 z0=1+i 处的伸缩率为 ( )
A ． 2 5 B．3 5
C． 2 2 D． 5 2
二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 2 分，共10 分)
16． arg(1+i)= .
17．设 z=x+iy, 则曲线 |z-1|=1 的直角坐标方程为.
18．设 f(z)=ze z, 则f (z) .
D ,则 F (z) =
19．设函数 f(z) 在单连通区域 D 内解析，且 F(z)= f ( ) d , 其中 z,0 .
z
1
20． Res e z, 0 = .
三、计算题 (本大题共8 小题，每小题 5 分，共40 分)
21．求方程 cosz=5 在复平面上的全部解 .
22．讨论函数 w=xy-x+iy 2的可导性，并在可导点处求其导数.
23．设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算 I=
ze3
dz .
C (z 2) 3
24．设 C 为从 0 到 1+2i 的直线段，计算积分I= Rezdz .
C
25． (1)将函数1
在点 z=-1 处展开为泰勒级数；z
(2)利用以上结果，将函数f(z)= 1
在点 z=-1 处展开为泰勒级数 . z2
26．求函数 f(z)= 1 的全部孤立奇点 . 若为极点，则指出其阶数 .
1) 2 (e z
(z 1)
27．将函数 f(z)= 1 在圆环域 1<|z|<2 内展开为罗朗级数 .
1)(z 2)
(z
e2 z
28．设 f(z)= z5 .
(1)计算 Res[f(z),0]
3
(2) 利用以上结果，计算积分
I=
f (z)dz , 其中 C 为正向圆周 |z|=1.
C
四、综合题 (下列 3 小题中， 29 题必做， 30、 31 题中选做一题。

每小题
10 分，共 20 分)
z 2 29． (1)求 f(z)=
在上半平面内所有的孤立奇点，并说明它们的类型；
z 4 16
(2)
计算 f(z) 在上半平面内各个孤立奇点的留数； (3)
利用以上结果计算广义积分 I=
x 2
4
dx .
x 16
30．设 D 为 Z 平面上的带形域 0<Imz<1. 试求以下保角映射：
(1)w =f (z)把 D 映射成 W 1 平面上的带形域 0<Imw 1 < ；
1
1
(2)w 2=f 2(w 1)把带形域 0<Imw 1< 映射成 W 2 平面的上半平面；
(3)w=f 3(w 2)把 W 2 平面的上半平面映射成单位圆盘 |w|<1 ；
(4)综合以上三步，求保角映射 w=f(z) 把 D 映射成单位圆盘 |w|<1.
31． (1)求 cost 的拉氏变换 F[cost]
(2)
设 F(p)= F[[y(t)], 其中函数 y(t) 可导，而且 y(0)=0. 求 F[[ y ( t) ]. (3)
利用拉氏变换解常微分方程的初值问题
y y 2 cost
y( 0)
4。