t(秒) 0.5 1 6.48 2 7.26 3 8.22
，其中a是电容器的
初始电压， b 是充电常数。试由下面一组t，U数据确
4 8.66
5 8.99
7 9.43
9 9.63
U(伏) 6.36
即要求出二次多项式:
f ( x) a1x 2 a2 x a3
中 的 A (a1 , a2 , a3 ) 使得:
2 [ f ( x ) y ] i i i 1 11
最小
第六章 曲线拟合
6.3 用MATLAB进行曲线拟合
解法1．用解超定方程的方法
此时
1）输入以下命令： x=0:0.1:1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];
其中
在MATLAB中，执行a=R\y命令，a即为超定方程的最小二乘解
第六章 曲线拟合
6.3 用MATLAB进行曲线拟合
方法一：多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合可用polyfit函数： a=polyfit(x,y,m)
输出拟合多项式系数 a=[a1, …am , am+1] (数组)
设 R=at+b a,b为待定系数
40
60
80
100
第六章 曲线拟合
6.1 线性最小二乘法
线性最小二乘法是曲线拟合最常用的解法。其基本思路为：
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 （1）
y
1.284
1.648
2.117
2.718
3.427
2.798
3.534
4.456
5.465
5.894
第六章 曲线拟合
ln(U-10)=ln(a-10)-(1/b)t y =c +dt
t b
3、用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时
刻的电压为 U V (V a)e 定a,b。
θ y
1 0.8
2 1.5
3 1.8
4 2.0
已知经验公式的形式为y=a θ +b θ2 ，试用最小二乘法求出a，b
2、用形如aex+bsin(x)+cln(x)+dcos(x)的函数在最小二乘的意义下拟合数据表： x 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50
J (a1 , a2 , am ) [ f ( xi ) yi ]
i 1 n 2 i i 1
nn2Fra bibliotek [ ak rk ( xi ) yi ]2
i 1 k 1
m
(2)
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
第六章 曲线拟合
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
第六章 曲线拟合
6.2 线性最小二乘法的求解
所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题。 Ra=y （3） r1 ( x1 ) rm ( x1 ) a1 y1 , a , y R am yn r1 ( xn ) rm ( xn )
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') %作出数据点和拟合曲线的图形 20.1293 -0.0317
2）计算结果： Ａ = -9.8108
f ( x) 9.8108 x 2 20.1293 x 0.0317
第六章 曲线拟合
6.4 曲线拟合实例
例6_2 用函数g(x)=c1+c2x+c3sin(πx)+c4sin(2πx)，拟合下面的 数据，并作出图形
x12 R x2 11
1 x11 1 x1
R=[(x.^2) ; x ;ones(size(x))]’；
A=R\y' 2）计算结果： A= -9.8108 20.1293 -0.0317
f ( x) 9.8108x 2 20.1293x 0.0317
第六章 曲线拟合
6.3 用MATLAB进行曲线拟合
解法2．用polyfit函数 1）输入以下命令： x=0:0.1:1;
12 10 8 6 4 2 0 -2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; A=polyfit(x,y,2)
第六章 曲线拟合
6.1 线性最小二乘法
线性最小二乘法是曲线拟合最常用的解法。其基本思路为：
第二步：确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
第六章 曲线拟合
6.1 线性最小二乘法
线性最小二乘法是曲线拟合最常用的解法。其基本思路为： 记
输入同维
的数组X，Y
拟合多项式 次数
方法二：建立超定方程组
Rnmam1 yn1 (m n) ，用
a R \ y 也可得到最小二乘意义下的解（a为向量）
第六章 曲线拟合
6.3 用MATLAB进行曲线拟合
例6_1 对下面一组数据作二次多项式拟合
xi yi
0 -0.447 0.1 1.978 0.2 3.28 0.3 6.16 0.4 7.08 0.5 7.34 0.6 7.66 0.7 9.56 0.8 9.48 0.9 9.30 1 11.2
第六章 曲线拟合
科学实验中，常常需要从一组测量数据中找到实验 规律的数学表达式，例如经验公式。
第六章 曲线拟合
已知热敏电阻数据：
温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7
电阻R() 765 826 873 942 1032
求60℃时的电阻R。
1100 1000 900 800 700 20
6.2 线性最小二乘法的求解
超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1 r12 a2 r1m am y1 ( n m) r a r a r a y nm m n n1 1 n 2 2
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
2 ( r a r a r a y ) 如果有向量a使得 i1 1 i 2 2 达到最小， im m i i 1 n
i xi 1 0.1 2 0.2 3 0.3 4 0.4 5 0.5 6 0.6 7 0.7 8 0.8 9 0.9
yi
0.0000
2.1220
3.0244
3.2568
3.1399
2.8579
2.5140
2.1639
1.8358
第六章 曲线拟合
练 习
1、在某个低温过程中，函数y依赖于温度θ（ ℃）的实验数据如下：