两条曲线的公切线问题➢方法导读在近几年高考导数大题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为高考中的热点题型之一.学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,对于单一曲线的切线问题,求解过程中常用的数学思想主要是转化与化归思想,函数与方程思想,数形结合思想,求解方法也较容易理解:(1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点;(2)利用导数的几何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率;(3)根据切点既在曲线上又在切线上进行求解.但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也大得多.具体的求解方法:设曲线在点处的切线为,整理得到:.设曲线在点处的切线为,整理得到:.由于与是相同直线(即与的公切线),故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从而求解出与公切线有关的一些问题.➢高考真题【2020·全国II卷理·20】已知函数.(1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;(2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.➢解题策略【过程分析】本题第一问首先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为,进而对函数求导得到,因为函数的定义域为,从而判断出,因此函数在和上是单调增函数(注意函数的单调区间不可用“”符号连接,可用“,”或者“和”连接);然后利用极限法分析当时,,而(此处利用极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都有所涉及),从而根据零点存在性定理判断当,函数有零点,又根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点;当时,,,因为,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯一的零点.于是得到第一问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点;第二问要证明两条曲线的公切线问题,就可以用到我们前面提到的方法,首先因为是的一个零点,所以必然满足函数解析式,即(注意一定要合理应用题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直接找到,对于而言,切点已经给出,所以直接求导,从而得到曲线在处的切线的斜率,进而表示出曲线在处的切线的方程为:,然后应用题中所给条件,所以的方程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为.紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利用导数求出曲线过切点的切线的方程,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,它的斜率,在纵轴的截距为.当切线的斜率等于直线的斜率时,即,则,而,所以. 最后由于直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此判断出直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线,本题得证.【深入探究】纵观本题的分析过程,主要是攻克以下的几个难点:(1)第一问中定义域中的“”,以及分析零点时的极限思想的应用;(2)第二问中由是的一个零点得到;(3)第二问中分别求解曲线与曲线的切线方程时切点的问题,尤其是求解曲线的切线方程时要设出切点,此处应该是本题求解过程中的“精髓”之处;(4)结合,再利用斜率和截距都相等,从而得出两直线,重合,进而说明直线是两条曲线的公切线;综上,只需攻克以上的几个难点本题就会迎刃而解.➢解题过程【解析】(1)函数的定义域为,,因为函数的定义域为,所以,因此函数在和上是单调增函数;当,时,,而,显然当,函数有零点,而函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点; 当时,,,因为,所以函数在必有一零点,而函数在上是单调递增,故当时,函数有唯一的零点, 综上所述,函数的定义域内有个零点.(2)因为是的一个零点,所以,,所以曲线在处的切线的斜率,故曲线在处的切线的方程为:,而, 所以的方程为,它在纵轴的截距为.设曲线的切点为,过切点的切线,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,当切线的斜率等于直线的斜率时,即,切线在纵轴的截距为,而,所以,直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线.➢解题分析在上述题目第二问的解题过程中,首先我们根据是的一个零点,得到关于的等量关系,其次我们分别求解曲线与曲线的切线方程,最后我们再由切线,重合来说明此直线就是两条曲线的公切线.此处我们主要是用到了求解两条曲线的公切线问题的常用方法:分别求出两条曲线的切线方程,然后利用直线重合得到该直线即为两条曲线的公切线,此种解题方法通俗易懂,学生上手比较方便,也是我们最常用的解决两条曲线公切线问题的方法.➢拓展推广解决两条曲线的公切线问题的一般策略:第一步:利用题中所给条件得到相应的等量关系;第二步:分别求解两条曲线在各自切点处的切线方程,设曲线在点处的切线为,整理得到:,设曲线在点处的切线为,整理得到:;第三步:根据公切线定义,得到两切线重合,建立方程组,求解相关问题,由于与是相同直线(即与的公切线),则和(即斜率相等,纵截距相等),建立方程组,从而求解出与公切线有关的一些问题.常见两条曲线的公切线问题的题型:(1)求两条曲线的公切线方程以及证明直线为两曲线的公切线问题;(2)求与两条曲线的公切线有关的曲线中的参数的取值范围问题;(3)探究两条曲线是否存在公切线的问题;(4)求曲线中参数的值问题;(5)判断公切线条数问题.变式训练1已知曲线与,直线是和的公切线,求公切线的方程.变式训练2已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.变式训练3设函数,.(1)讨论的极值;(2)若曲线和曲线在点处有相同的切线,且当时,,求的取值范围.变式训练4（2018天津理）已知函数,,其中.(1)求函数的单调区间;(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,证明:;(3)证明:当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5已知函数,.(1)当时,,求实数的取值范围.(2)当时,曲线和曲线是否存在公共切线?并说明理由答案变式训练1见解析设与的切点,与的切点,曲线在处的导数为,在曲线上过点的切线方程为,即,曲线在处的导数为,在曲线上过点的切线方程为,即,由题意知直线与重合,则有,解得或,所以两曲线和的公切线的方程为或.变式训练2见解析(1)函数的定义域为,, 所以,所以当,即时,,在上单调递增; 当,即或时,当时,,在上单调递增;当时,令得,随着变化,,的变化情况如下表:综上:当时,在上单调递增;当时,在和内单调递增,在内单调递减.(2)设函数在点与函数在点处切线相同,由,,得到,,所以函数在点处的切线方程为,即,函数在点处的切线方程为,即,由斜率相等得到,所以,由截距相等得到,把代入化简得,则,不妨设,当时,,当时,,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,代入可得,设,则对恒成立,所以在区间上单调递增,又,所以当时,即当时,又当时,,因此当时,函数必有零点;即当时,必存在使得成立;即存在,使得函数在点与函数在点处切线相同, 又由在上单调递增可得的取值范围,因此,,变式训练3见解析(1)由题意,则,①当时,恒成立,所以在上单调递增,无极值.②当时,由得,故当时,,单调递减;当时,,单调递增, 所以当时,有极小值,且极小值为,无极大值.③当时,由得,故当时,,单调递增;当时,,单调递减, 所以当时,有极大值,且极大值为,无极小值.综上所述,当时,无极值;当时,有极小值,无极大值;当时,有极大值,无极小值.(2)由题意得,∴,即,解得,∴,令,则,由题意可得,解得,由得,,①当,即时,则,∴当时,,单调递减;当时,,单调递增,∴在上的最小值为,∴恒成立.②当,即时,则,∴当时,,在上单调递增,又,∴当时,,即恒成立.③当,即时,则有,从而当时,不可能恒成立.综上所述的取值范围为.变式训练4(1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析;(3)见解析.本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.(1)由已知,有,令,解得;由,可知当变化时,,的变化情况如下表:所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由,可得曲线在点处的切线斜率为,由,可得曲线在点,处的切线斜率为,因为这两条切线平行,故有,即,(3)曲线在点处的切线,曲线在点处的切线.要证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得与重合.即只需证明当时,方程组有解,由①得,代入②,得③,因此,只需证明当时,关于的方程③存在实数解.设函数.即要证明当时,函数存在零点,,可知时, ;时,单调递减,又,,故存在唯一的,且,使得, 即.由此可得在上单调递增,在上单调递减, 在处取得极大值;因为,故,所以,下面证明存在实数,使得,由(1)可得,当时,有,所以存在实数,使得,因此,当时,存在,使得;所以,当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5见解析(1)令,则,若,则,若,则,所以在上是增函数,在上是减函数,所以是的极大值点,也是的最大值点,即,若恒成立,则只需,解得,所以实数的取值范围是.(2)假设存在这样的直线且直线与曲线和曲线分别切于点,,由,得,曲线在点处的切线方程为,即,同理可得,曲线在点处的切线方程为,所以,即,构造函数,存在直线与曲线和曲线均相切,等价于函数在上有零点,对于,当时,,在上单调递增,当时,因为,所以在上是减函数,又,,所以使得,即,且当时,,当时,,综上,在上是增函数,在上是减函数,所以是的极大值,也是最大值,且,又,,所以在内和内各有一个零点,故假设成立,即曲线和曲线存在公共切线.。