汇龙中学高二数学国庆假期作业二等差数列1．已知数列{}n a 是等差数列，且74326,2a a a -==，则公差d =（ ） A．B ．4C ．8D ．162．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( ) A ．21B ．23C ．24D ．263．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=12，则公差d 等于（ ） A ．1B ．C ．2D ．34．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．805．在等差数列{}n a 中，()()35710133248a a a a a ++++=，则等差数列{}n a 的前13项的和为（ ） A ．24B ．39C ．52D ．1046．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －16，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．67．等差数列{}n a 的公差是2，若 248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前 n 项和n S =（ ） A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 8．在等差数列{}n a 中,3645a a a +=+,且2a 不大于1,则8a 的取值范围为（ ） A ．(],9-∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞D ．()9,+∞9．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份面包个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，公差d≠0，若S 11=132，a 3+a k =24，则正整数k 的值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．1211．等差数列{}n a 中，2n na a 是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）A ．{}1B ．112⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．110S a 13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝32，则a 2＋2a 5＋a 6＝________． 14．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2a 3，S 5＝15，则a 2016＝__________. 15．在数列{}n a 中，13a =且对任意大于1的正整数n ，点()1,n n a a -在直线30x y --=上，则n a = .16．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知12a =且{}nS 也为等差数列，则13a的值为 ．17．设数列{a n }满足当n ＞1时，a n ＝1114n n a a --+，且a 1＝15.(1)求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； (2)a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．18．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝11n a -. (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．19．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝1121n n a a --+(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1na (n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．20．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 5＝30，数列{b n }满足b 1＋2b 2＋…＋nb n ＝a n . (1)求a n ；(2)设c n ＝b n ·b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .21．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.22．在数列{a n }中，已知a 1＝1，且2211222n n n n a a a a ++--+=，n ∈N *.(1)记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，证明数列{b n }是等差数列； (2)设{b n }的前n 项和为S n ，证明123111134n S S S S +++⋯+<.汇龙中学高二数学国庆假期作业二等差数列参考答案1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．C 10．A 11．B 12．C 13．16 14．2016 15． 3n 2 16．50 17． (1)证明：根据题意a 1＝15及递推关系a n ≠0.因为a n ＝1114n n a a --+.取倒数得111n n a a -=＋4，即111n n a a --＝4(n ＞1)，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为5，公差为4的等差数列． (2)解：由(1)，得1n a ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1，141n a n =+. 又121111594541a a n =⨯==+，解得n ＝11.所以a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项． 18．(1) 见证明；(2) a n ＝52n n ++. 解：(1)证明：()()()()1111311n n n n a a a a ++--=---⎡⎤⎣⎦， ∴1111113n n a a +-=--，即b n ＋1－b n ＝13，∴{b n }是等差数列． (2)∵b 1＝1，∴123,1332n n b n a n =+-=+∴a n ＝52n n ++. 19．(1)见证明；(2) a n ＝121n -. (1)证明：∵b n ＝1n a ，且a n ＝1121n n a a --+，∴11211121nn n n n n a b a a a a +++===+，∴12112n n nn na b b a a ++-=-=. 又b 1＝11a ＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)解：由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又b n ＝1n a ，∴a n ＝1121n b n =-.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝121n -.20．(1) a n ＝2n ，n ∈N *. (2) 41n nT n =+ 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝4，S 5＝30，得114545302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，， 得a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，n ∈N *. 得，1222n b b nb n ++⋯+=，①所以2n ≥时，b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＝2(n －1)，② ①－②得，nb n ＝2，b n ＝2n .(*)又b 1＝a 1＝2也符合(*)式，所以b n ＝2n，n ∈N *. 所以c n ＝b n ·b n ＋1＝4114(1)1n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，所以T n ＝11111144141223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 21．（1）d ＝2，S n ＝n 2;(2) 当m ＝5，k ＝4时，a m ＋a m ＋1＋…＋a m ＋k ＝65.(1)∵S 2·S 3＝36，a 1＝1，∴(2a 1＋d )·(3a 1＋3d )＝36， 即d 2＋3d －10＝0， ∴d ＝2或d ＝－5. ∵d ＞0，∴d ＝2，∴{a n }为1为首项，2为公差的等差数列， ∴S n ＝n ＋(1)2n n - ×2＝n 2. (2)∵a m ＋a m ＋1＋…＋a m ＋k ＝65，∴S m ＋k －S m －1＝65.由(1)得(m ＋k )2－(m －1)2＝65，即2mk ＋k 2＋2m －1＝65， 2m (k ＋1)＋k 2－1＝65， 即(k ＋1)(2m ＋k －1)＝65＝5×13，∵k 、m ∈N ＋，∴2m ＋k －1＞k ＋1， ∴152113k m k +=⎧⎨+-=⎩ 解之得m ＝5，k ＝4.∴当m ＝5，k ＝4时，a m ＋a m ＋1＋…＋a m ＋k ＝65.22． 证明：(1)2211222n n n n a a a a ++--+=，b n ＋1－b n ＝221122n n n n a a a a ++--+＝2，所以数列{b n }是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)得S n ＝(24)2n n +＝n (n ＋2)，所以11111(2)22nn n n n S ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭ 所以121111111111112322422n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111311131221242124n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.。