极限的发展史
从极限思想到极限理论
极限的朴素思想和应用可追溯到古代，我国古代哲学名著《庄子》记载着庄子的朋友惠施的一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。
”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。
随着天数的增多,所剩下的木棒越来越短,截取量也越来越小,无限地接近于0,但永远不会等于0。
中国早在2000年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图形的面积和体积，3世纪刘徽创立的割圆术，就是用园内接正多边形的极限时圆面积这一思想来近似计算圆周率π的，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”，这就是早期的极限思想。
到17世纪，由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化，包括量的变化与形的变换，还产生了函数概念和无穷小分析即现在的微积分，使数学从此进入了一个研究变量的新时代。
到17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在前人研究的基础上，分别从物理与几何的不同思想基础、不同研究方向，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点使直观的无穷小量，极限概念被明确提出，但含糊不清。
牛顿子发明微积分的时候，合理地设想：t∆越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。
这一新的数学方法，受到数学家和物理学家欢迎，并充分地运用它解决了大量过去无法问津的科技问题，因此，整个18世纪可以说是微积分的世纪。
但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击，贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。
实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。
其实，牛顿也曾在著作中明确指出过：所谓“最终的比”不是“最终的量”的比。
而是比所趋近的极限。
但他既没有清除另一些模糊不清的陈述，又没有严格界说极限的含义。
包括莱布尼茨对微积分的最初发现，也没有明确极限的意思。
因而，牛顿及其后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击，这就是数学史上所谓第二次数学危机。
经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。
由于法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人的工作，以及实数理论的建立，才使极限理论建立在严密的理论基础之上。
至此极限理论才真正建立起来，微积分这门学科才得以严密化。
因而真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师.所谓“定义”极限，本质上就是给“无限接近”提供一个合乎逻辑的判定方法，和一个规范的描述格式。
这样，我们的各种说法，诸如“我们可以根据需要写出根号2的任一接近程度的近似值”，就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义。
2.1最早的极限思想
公元前770——前221年，在《庄子》“天下篇”中记录：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这句话的意思是:有一根一尺长的木棍，如果一个人每天取它剩下的一半，那么他永远也取不完。
庄子这句话充分体现出了古人对极限的一种思考，也形象的描述出了“无穷小量”的实际范例。
迄今为止，微积分中也常常用这个例子来进行教学的导入。
2.2极限的早期使用
公元前3世纪，古希腊数学家安提丰（antiphon,约公元前430年）提出了“穷截法”，即在求解圆面积时提出用成倍扩大圆内接正多边形边数，通过求正多边形的面积来近似代替圆的面积。
但安提丰的做法却让许多的希腊数学家产生了“有关无限的困惑”，因为在当时谁也不能保证无限扩大的正多边形能与圆周重合。
通过多边形边数的加倍来产生无限接近的过程，从而出现“差”被“穷竭”的说法虽然不合适，但在现在看来，这个所谓的“差”却构造出了一个“无穷小量”，因此也被认为是人类最早使用极限思想解决数学问题的方法。
在中国公元3世纪，刘徽（约225——295）在《九章算术注》中创立了“割圆术”。
用现代的语言来描述他的方法即是:假设一个圆的半径为一尺，在圆中内接一个正六边形，在此后每次将正多边形的边数增加一倍，从而用勾股定理算出内接的正十二边、二十四边、四十八边等多边形的面积。
这样就会出现一个现象，当边数越多时，这个多边形的面积就越与圆面积接近。
刘徽运用这个相当于极限的思想求出了圆周率，并且由于与现在的极限理论的思想很接近，从而他也被誉为在中国史上第一个将极限思想用于数学计算的的人。
2.3极限定义的产生
直到17世纪为止，安提丰制造的“极限恐慌论”都阻挡了极限的发展。
到了17世纪，牛顿（Newton,1642-1727）、莱布尼茨（Leibniz,1646-1716）利用极限的方法创立了微积分，但在那个时候，他们的极限理论还不是十分的严密清楚。
经过十八世纪到十九世纪初，微积分的理论和主要内容基本上已经建立起来了，但几乎它所有的概念都是建立在物理和几何原型上的，带有很大程度上的经验性和直观性。
直到法国数学家柯西（Cauchy,1789-1857）才明确的描述了极限的概念及理论，无穷小的本质也因此被揭露出来了。
1821年柯西在拉普拉斯与泊松的支持下发表了《代数分析教程》，书中脱离了一定要将极限概念与几何图形和几何量联系起来的束缚，通过变量和函数概念从开始就给出了精确的极限定义：假如一个变量依次取得的值无限趋近于一个定值，到后来这个变量与定值之间的差值要多小就多小，那么这个定值就是这所有取得的无限接近定值的变量的极限值。
可是，柯西的极限定义还是存在着一些问题，比如他所谓的“无限接近”、“要多小有多小”这些概念都只能在头脑中想象，不能摆脱在头脑中的几何直观想象来建立数学概念的方法。
2.4极限定义的完善
为了摆脱极限定义的几何直观思维方法，19世纪后半期，德国的维尔斯特拉斯（Weierstrass,1815-1897）研究出了一个纯算术的极限定义。
维尔斯特拉斯用实数描述出了极限定义。
他先把变量设为一个字母，而这个字母可以取能取集合中的任意一个数，一个连续变量
最早的极限思想是在公元前770——前221年，在《庄子》“天下篇”中记录：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
庄子这句话充分体现出了古人对极限的一种思考，也形象的描述出了“无穷小量”的实际范例。
迄今为止，微积分中也常常用
这个例子来进行教学的导入。
极限在高中教学中，概念也经常用到，可分为数列极限和函数极限，同时也为微积分中的导数学习有很大帮助。