⇔ A =A
T
。
−1
令
α 1T T α 2 A = M T α n
= ( β , β ,L , β ) 1 2 n
由上式不难得到： 为正交矩阵 由上式不难得到：A为正交矩阵
1, i = j 1, ⇔(α ,α ) = ⇔ (βi , β j ) = 0. i ≠ j 0.
T T
都正交的向量集。 都正交的向量集。 解：设与 α1,α2 都正交的向量为
T x = ( x1, x2 , x3 , x4 ) 由 α1T x = 0 α2 x = 0
T
得齐次线性方程组
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 4 = 0
x = k1(−1,0,1,0)T + k2 (−1,0,0,1)T 解得
α1 = (1,0,1)T ,α2 = (1,1,0)T ,α3 = (0,1,1)T 例2 设
正交化过程将其化为标准正交组。 用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 正交化过程将其化为标准正交组 解：取 β1 = α1 = (1, 0,1)T
(α2 , β1 ) 1 1 1T 1 T T β2 = α2 − β1 = (1,1,0) − (1,0,1) = ( ,1, − ) = (1,2, −1)T (β1, β1 ) 2 2 2 2
θ =
π
2
时，称两向量正交。这里显然等价于 称两向量正交。 因此可利用内积定义两向量正交。 (α, β) = 0 因此可利用内积定义两向量正交。 正交， 定义3 定义 若 (α, β ) = 0 称 α , β 正交，记 α ⊥ β 中只要有一个为零向量， α , β 中只要有一个为零向量，必有 (α , β ) = 0 又零向量与任何向量看作是正交的， 又零向量与任何向量看作是正交的，且
1 i=j (αi,αj )= 0 i ≠ j
i =1 Lr ,2, ,
为正交向量组， 定理1 定理 设 α 1 , α 2 , L , α r 为正交向量组，则
α1 , α 2 ,L , α r 是线性无关的。 是线性无关的。
例1 求与向量 α1 = (1,1,1,1) ,α2 = (1,0,1,0)
即为与
α 1,α
2
都正交的向量集
2.施密特正交化方法 设 施密特正交化方法
α 1 , α 2 ,L , α r
是线性无关的向量组， 是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组
，
等价。 ε 1 , ε 2 , L , ε r 使其与 α1 , α 2 ,L, α r 等价。 其作法分两步(1).正交化，令 正交化， 其作法分两步 正交化
a + a + a , α β = ab1 + a2b2 + a3b3 1
2 1 2 2 2 3
（设
a1b1 + a2b2 + a3b3 αβ cosθ = = 2 2 2 α β a12 + a2 + a3 b12 + b2 + b32
α ≠ 0, β ≠ 0
为了今后应用的需要， 为了今后应用的需要，将这些概念 及公式推广到n维向量 维向量。 及公式推广到 维向量。 1. 向量的内积 定义1 定义 n 中任两个向量 n维向量空间 R 维向量空间
α
0
=
1
α
α ，即为一单位向量。称将 即为一单位向量。
α
单位化。 单位化。
向量的长度有下列性质： 向量的长度有下列性质： (1).非负性： α 非负性： 非负性
；
≥ 0 ; α = 0 当且仅当
。
α =0
(2).齐次性： kα = k α 齐次性： 齐次性
；
(3).三角不等式： α + β ≤ α + β 三角不等式： 三角不等式 以上性质证明留给读者。 以上性质证明留给读者。
（
α ( 4 ) ( α , α ) ≥ 0 ; ( α , α ) = 0 当且仅当
。
= 0
以上证明留给读者。 以上证明留给读者。
定义2 定义 设
α =
α = ( a1 , a 2 , L , a n )
2 2 a12 + a 2 + L + a n
T
(α , α ) =
，
称向量 α
的长度。长度为 的向量称单位向量 的向量称单位向量。 的长度。长度为1的向量称单位向量。 设 α ≠0
α = (a1, a2,L, an) , β = (b1,b2,L,bn)
T
T
的内积定义为
(α , β ) = α T β = αβ T = a1b1 + a2b2 + L + an bn
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间 内积具有下列性质： 内积具有下列性质： 交换性） （交换性）; (1)(α , β ) = (β , α )
X = Y
即正交变换保持向量长度不变。 ） 即正交变换保持向量长度不变。2）设 为一正交变换， Y = C X 为一正交变换，对任意
X1, X 2 ∈ R Y1 = CX1,Y2 = CX2
n
则有
( X 1 , X 2 ) = (Y1 , Y2 )
即正交变换下向量内积不变。 即正交变换下向量内积不变。由于正交 变换保持向量长度、内积不变， 变换保持向量长度、内积不变，因而保 持两向量夹角及正交性不变， 持两向量夹角及正交性不变，因此施以 正交变换后图形的几何形状不变， 正交变换后图形的几何形状不变，因此 可利用正交变换研究图形的几何性质。 可利用正交变换研究图形的几何性质。
1 (1, 0,1) 2
ε2 =
ε3 =
1
β2
1
1 β2 = (1, 2, − 1) 6
β3 =
1 ( − 1, 1, 1) 3
β3
3. 正交矩阵与正交变换 定义5方阵 方阵A满足 定义 方阵 满足
AA = I
T
则称A为正交矩阵。由定义不难得到： 则称 为正交矩阵。由定义不难得到： 为正交矩阵 A为正交矩阵 为正交矩阵
T i T j
i= j i≠ j
的行（ 即A的行（列）向量是两两正交的单位向量 的行 即是 Rn 的正交规范基） 的正交规范基）
例3令 令
A =
1 2 1 2 0 0
0 0 1 2 1 2
1 2 1 2 0 0
0 0 1 2 1 2
验证A为正交矩阵 验证 为正交矩阵 解：因列向量组为两两正交 的单位向量， 的单位向量，故为正交矩阵 。
定义6 定义 设
X , Y ∈ R 则称线性变换
n
是正交变换。 Y = AX 是正交变换。 例4 证明线性变换
x′ = cos θ x + sin θ y y′ = − sin θ x + cos θ y
证略。 (4).柯西不等式： , β ) ≤ α β 证略 柯西不等式： 柯西不等式 (α
由柯西不等式得
(α , β )：α Nhomakorabeaβ
≤ 1
由此可定义两非零向量的夹角： 由此可定义两非零向量的夹角：
； 或
cos θ =
(α , β )
α β
θ = a rc c o s
(α , β )
α
β
对于两非零向量 α , β 当
。
因此可利用内积定义两向量正交。 因此可利用内积定义两向量正交。
定义4 定义 设向量组
α1,α2 ,L,αr
为两两正交的非零向量， 为两两正交的非零向量， 称其为正交向量组。 称其为正交向量组。
。
如果正交向量组中。 如果正交向量组中。每个向量还是单位向量 量则称其为标准正交向量组或正交规范向 量组。如它们还是向量空间的基底则分别称 量组。 其为正交基或标准（规范）正交基。 其为正交基或标准（规范）正交基。即正交 规范组（ 规范组（基）满足
是正交变换。 是正交变换。
解：线性变换的矩阵为
cosθ sinθ − sinθ cosθ
其行（ 其行（列）向量是两两正交的单位向量 故为正交矩阵， 故为正交矩阵，故上述线性变换是正交 变换。 变换。上述线性变换代表平面上的一个 坐标旋转， 坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换 是正交变换 下面介绍正交变换的性质： ） 设 下面介绍正交变换的性质：1）.设 Y = CX 为一正交变换， 为一正交变换，则
(α3 , β1 ) (α3 , β2 ) 1 1 1 T T β3 = α 3 − β1 − β2 = (0,1,1) − (1,0,1) − × (1, 2, −1)T (β1 , β1 ) ( β2 , β2 ) 2 3 2
2 = ( − 1,1,1) T 3
ε 单位化得1 =
1
β1
β1 =
， ……
(2). 单位化（规范化）：取 单位化（规范化）： ）：取
ε1 = , ε2 =
α1 α1
α2 α2
,L, εr =
αr αr
,
ε1,ε2,L,εr 是正交规范向量组，且 是正交规范向量组，
显然
ε1, ε2 ,L, εr
仍与 α 1 , α 2 , L , α r
等价。上述过程称 等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 （施密特） 化过程。（方法） 。（方法 化过程。（方法）
二次型
二次型化标准型
一.向量的内积与施密特正交化过程 向量的内积与施密特正交化过程 引言：在几何空间， 引言：在几何空间，我们学过向量的长 两向量夹角的概念， 两向量夹角的概念，并由此定义两向量 的数量积