广东省2019届高考适应性考试理科数学试卷一：选择题。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{x|log2x≤2}＝{x|0＜x≤4}，∴A∩B＝{x|2＜x≤4}＝（2，4]．故选：B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.复数（为虚数单位）是方程的根，则（）A. B. 13 C. D. 5【答案】B【解析】【分析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解．【详解】∵是方程z2﹣6z+b＝0（b∈R）的根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，为方程另一根，则b＝（3+2i）（3﹣2i）＝13．故选：B．【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.曲线在点处的切线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.【详解】，选D.【点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本求解能力，属基础题.4.已知实数，满足约束条件，则的最小值为( ）A. -6B. -4C. -3D. -1【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝﹣2x+y的最小值．【详解】由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z，经过点A时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最小值，由，解得A（3，0）．将A的坐标代入z＝﹣2x+y，得z＝﹣6，即目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣6．故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和。
详解：设小正方形的边长为1，可得黑色平行四边形的底为高为；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以，故选C。
点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型。
6.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（）A. 2B.C.D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，根据题意可得△PQF为等边三角形，求出其边长，进而在Rt△FMR分析可得答案．【详解】根据题意，如图所示：连接MF，QF，抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为（1，0），准线x＝﹣1，则FH＝2，PF＝PQ，又由M，N分别为PQ，PF的中点，则MN∥QF，又PQ＝PF，∠NRF＝60°，且∠NRF＝∠QFH＝∠FQP＝60°，则△PQF为边长为4等边三角形，MF＝2，在Rt△FMR中，FR＝2，MF＝2，则MR＝4，则NR MR＝2，故选：A．【点睛】本题考查抛物线的定义以及简单性质，注意分析△PQF为等边三角形，属于综合题．7.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，解得，进而根据余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为2，将绕原点顺时针旋转，则，解得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的应用，以及两角和的正切函数和余弦的倍角公式的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.函数的部分图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据与的性质，确定函数图象【详解】，定义域为，，所以函数是偶函数，排除A、C，又因为且接近时，，且，所以，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：1.从函数定义域，值域判断；2.从函数的单调性，判断变化趋势；3.从函数的奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象9.平面四边形中，，，且，现将沿对角线翻折成，则在折起至转到平面的过程中，直线与平面所成最大角的正切值为（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】取BD 的中点O,得到直线与平面所成角，再根据正弦定理列式，最后根据正弦函数有界性确定最大值，求得结果. 【详解】取BD 的中点O,则即平面,从而平面平面,因此在平面的射影在直线上，即为直线与平面所成角，因为，，且，所以,即最大值为，因此直线与平面所成最大角的正切值为，选 D.【点睛】本题考查线面角以及正弦定理，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题.10.已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递增区间是（ ）A. ，B. ，C. ，D.，【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的一个零点是，得出，再根据直线是函数图象的一条对称轴，得出，由此求出的关系式，进而得到的最小值与对应的值，进而得到函数的解析式，从而可求出它的单调增区间．【详解】∵函数的一个零点是，∴，∴，∴，或．①又直线是的图像的一条对称轴，∴，②由①②得，∵，∴；此时，∴，∵，∴，∴．由，得．∴的单调增区间是．故选A．【点睛】本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间．11.某罐头加工厂库存芒果，今年又购进新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
被加工为罐头的新芒果最多为，最少为，则下列坐标图最能准确描述、分别与的关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意分类讨论、分别与的关系，再对照图象选择.【详解】要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存芒果，即当时此时，当时，，对照图象舍去C,D;要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当时，当时，因为，所以选A.【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.12.若向量，，满足，，且，则的最小值是（）A. B. C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积为零几何意义得对应点轨迹，再根据向量加法与减法几何意义以及圆的性质求最值.【详解】设向量，，,则由得,即C的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB中点M ，半径为，因此从而，选C.【点睛】本题考查向量数量积、向量加法与减法几何意义以及圆的性质，考查综合分析判断与求解能力，属较难题.二、填空题。
13.的展开式中的系数为________.【答案】-40【解析】分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有的项得答案．【详解】解：，∵的展开式中含的项为，的展开式中含的项为．∴的展开式中，x2的系数为4080＝-40．故答案为：-40．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知定义在上的奇函数，当时，，则__________.【答案】3【解析】【分析】先求，再根据奇函数性质得结果.【详解】因为，又为定义在上的奇函数，所以【点睛】本题考查函数解析式以及函数奇偶性应用，考查基本分析求解能力，属容易题.15.已知点，，，在球的表面上，且，，若三棱锥的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为_______.【答案】【解析】【分析】根据条件可知球心是侧棱中点.利用三棱锥的体积公式，求得设点到平面的距离，又由球的性质，求得，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，满足，所以为直角三角形，根据条件可知球心是侧棱中点.设点到平面的距离为，则，解得，又由球的性质，可得球半径为，满足，所以，所以这个球的表面积.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的组合体的应用，其中解答中正确认识组合体的结构特征，合理利用球的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16.如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，.点在弧上，在上，.设，则当平面区域（阴影部份）的面积取到最大值时，_______.【答案】【解析】【分析】在Rt中，，则AF=3tanx，列出面积=15-，对其求导得最值时的值.【详解】在Rt，，则AF=3tanx .，y===15- . .=的根，因为.，所以cosx，使得 .所以y=在时取得最大值.故答案为: .【点睛】本题考查了由三角函数解决实际问题的最值问题，列出面积的方程是关键，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）（1）求数列的通项公式；（2）证明：当时，【答案】(1) (2)见证明【解析】 【分析】(1)由题意将递推关系式整理为关于与的关系式，求得前n 项和然后确定通项公式即可；(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式. 【详解】（1）由，得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，当时，，当时，，也满足上式，所以；（2）当时，，所以【点睛】给出 与 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .18.如图，四棱锥中，底面为边长是2的方形，，分别是，的中点，，，且二面角的大小为.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）作于点连接，可证，，又，∴平面，即可证明；（2）以点为原点，,,所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量可求二面角的余弦值.试题解析：（1）证明：作于点连接，∵，，，∴，∴，即，，又，∴平面，又平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面.以点为原点，,,所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，∵,∴.∴，即.∴，，，.∴,，设平面的法向量，由，得令，得易知为平面的一个法向量.设二面角为，为锐角则.19.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进。