第一章 解三角形一、选择题1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )．A ．10 kmB ．103kmC ．105kmD ．107km2．在△ABC 中，若2cosA a ＝2cosB b ＝2cosC c，则△ABC 是( )．A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )．A ．15°B ．45°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，三个角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )．A ．3∶2∶1B ．2∶3∶1C ．1∶2∶3D ．1∶3∶25．如果△A 1B 1C 1的三个角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个角的正弦值，则( )． A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形6．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )． A ．30°或150°B ．60°C ．60°或120°D ．30°7．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实根，则A 为( )．A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )．A ．223B ．233C ．23D ．33 9．在△ABC 中，c b a c b a －＋－＋333＝c 2，sin A ·sin B ＝43，则△ABC 一定是( )．A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．A ．①只有一解，②也只有一解．B ．①有两解，②也有两解．C ．①有两解，②只有一解．D ．①只有一解，②有两解．二、填空题11．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ．12．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos22A，则此三角形是__________三角形． 13．已知a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度 ．14．△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值 ．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为4393，则△ABC 的周长为________________． 16．在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．三、解答题17．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝33b ，解此三角形．18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50米．求此山对于地平面的倾斜角．(第18题)19．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ， (Ⅰ)求∠B 的大小；(Ⅱ)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：222c b a -＝C B A sin sin )(-．参考答案一、选择题 1．D解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝102＋202－2×10×20cos 120° ＝700．AC ＝107．2．B解析：由2cos A a ＝2cos B b ＝2cos C c及正弦定理，得2cos sin A A ＝2cos sin B B ＝2cos sin C C ，由2倍角的正弦公式得2sin A ＝2sin B ＝2sin C，∠A ＝∠B ＝∠C ．3．C解析：由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 得 a 2＋b 2－c 2＝ab ．∴ cos C ＝ab c b a 2222-+＝21．故C ＝60°． 4．D解析：由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2． 5．D解析：△A 1B 1C 1的三个角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 若△A 2B 2C 2不是钝角三角形，由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧)－(＝＝)－(＝＝)－(＝＝1121121122πsin cos sin 2πsin cos sin 2πsin cos sin C C C B B B A A A ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧1212122π2π2πC C B B A A －＝－＝－＝，那么，A 2＋B 2＋C 2＝23π－(A 1＋B 1＋C 1)＝2π，与A 2＋B 2＋C 2＝π矛盾． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 6．C解析：由A a sin ＝B b sin ，得sin A ＝bBa sin ＝222232⨯＝23，而b ＜a ，∴ 有两解，即∠A ＝60°或∠A ＝120°． 7．A解析：由方程可得(sin A －sin C )x 2＋2x sin B ＋sin A ＋sin C ＝0． ∵ 方程有两个不等的实根， ∴ 4sin 2B －4(sin 2A －sin 2C )＞0． 由正弦定理A a sin ＝B b sin ＝Cc sin ，代入不等式中得 b 2－a 2＋c 2＞0， 再由余弦定理，有2ac cos A ＝b 2＋c 2－a 2＞0． ∴ 0＜∠A ＜90°． 8．B解析：由余弦定理得cos A ＝21，从而sin A ＝23，则AC 边上的高BD ＝233．9．A解析：由cb ac b a －＋－＋333＝c 2⇒a 3＋b 3－c 3＝(a ＋b －c )c 2⇒a 3＋b 3－c 2(a ＋b )＝0⇒(a ＋b )(a 2＋b 2－ab －c 2)＝0．∵ a ＋b ＞0，∴ a 2＋b 2－c 2－ab ＝0． (1) 由余弦定理(1)式可化为a 2＋b 2－(a 2＋b 2－2ab cos C )－ab ＝0，得cos C ＝21，∠C ＝60°． 由正弦定理A asin ＝B b sin ＝︒60sin c ，得sin A ＝c a ︒60sin ，sin B ＝c b ︒60sin ，∴ sin A ·sin B ＝2260sin cab )(︒＝43， ∴ 2cab ＝1，ab ＝c 2．将ab ＝c 2代入(1)式得，a 2＋b 2－2ab ＝0，即(a －b )2＝0，a ＝b ．△ABC 是等边三角形．10．D解析：由正弦定理得sin A ＝bBa sin ，①中sin A ＝1，②中sin A ＝935．分析后可知①有一解，∠A ＝90°；②有两解，∠A 可为锐角或钝角．二、填空题 11．60°或120°． 解析：由正弦定理A a sin ＝B b sin 计算可得sin A ＝23，∠A ＝60°或120°． 12．等腰．解析：由已知得2sin B sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴ cos(B －C )＝1，得∠B ＝∠C ， ∴ 此三角形是等腰三角形． 13．21或61． 解：∵ S ＝21ab sin C ，∴ sin C ＝23，于是∠C ＝60°或∠C ＝120°．又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，当∠C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－ab ，c ＝21； 当∠C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2＋ab ，c ＝61． ∴ c 的长度为21或61． 14．10＋53．解析：由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，然后运用函数思想加以处理． ∵ 2x 2－3x －2＝0， ∴ x 1＝2，x 2＝－21． 又cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根， ∴ cos C ＝－21． 由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·(－21)＝(a ＋b )2－ab ，则c 2＝100－a (10－a )＝(a －5)2＋75， 当a ＝5时，c 最小，且c ＝75＝53， 此时a ＋b ＋c ＝5＋5＋53＝10＋53， ∴ △ABC 周长的最小值为10＋53． 15．13．解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6，可得a ∶b ∶c ＝2∶5∶6，于是可设a ＝2k ，b ＝5k ，c ＝6k (k ＞0)，由余弦定理可得cos B ＝ab c b a 2－＋222＝))((k k k k k 62225－36＋4222＝85，∴ sin B ＝B 2cos －1＝839． 由面积公式S △ABC ＝21ac sin B ，得 21·(2k )·(6k )·839＝4393，∴ k ＝1，△ABC 的周长为2k ＋5k ＋6k ＝13k ＝13． 本题也可由三角形面积(海伦公式)得)6213)(5213)(2213(213k kk k k k k －－－＝4393， 即4393k 2＝4393，∴ k ＝1． ∴ a ＋b ＋c ＝13k ＝13． 16．6∶5∶4．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用． 由正弦定理得c a ＝C A sin sin ＝CC sin 2sin ＝2cos C ，即cos C ＝c a2， 由余弦定理cos C ＝ab c b a 2－＋222＝abb c a c a 2＋－＋2))((．∵ a ＋c ＝2b ，∴ cos C ＝abc a b c a b 22＋＋－2)(＝aca c a 22＋＋－2)(，∴ca 2＝ac a c a 22＋＋－2)(．整理得2a 2－5ac ＋3c 2＝0． 解得a ＝c 或a ＝23c ． ∵∠A ＝2∠C ，∴ a ＝c 不成立，a ＝23c ∴ b ＝2c a +＝223cc +＝c 45，∴ a ∶b ∶c ＝23c ∶c 45∶c ＝6∶5∶4． 故此三角形三边之比为6∶5∶4． 三、解答题17．b ＝43，c ＝8，∠C ＝90°，∠B ＝60°或b ＝43，c ＝4，∠C ＝30°，∠B ＝120°． 解：由正弦定理知A asin ＝B b sin ⇒︒30sin 4＝B sin 34⇒sin B ＝23，b ＝43．∠B ＝60°或∠B ＝120°⇒∠C ＝90°或∠C ＝30°⇒c ＝8或c ＝4． 18．分析：设山对于地平面的倾斜角∠EAD ＝，这样可在△ABC 中利用正弦定理求出BC ；再在△BCD 中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出角．解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，AB ＝100米， ∠ACB ＝45°－15°＝30°． 根据正弦定理有︒30sin 100＝︒15sin BC， ∴ BC ＝︒︒30sin 15sin 100．又在△BCD 中，∵ CD ＝50，BC ＝︒︒30sin 15sin 100，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋，根据正弦定理有︒45sin 50＝)(θ＋90sin 30sin 15sin 100︒︒︒．解得cos ＝3－1，∴ ≈42.94°．∴ 山对于地平面的倾斜角约为42.94°．19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ， ∴ 2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )． 又在三角形ABC 中，sin(B ＋C )＝sin A ≠0， ∴ 2sin A cos B ＝sin A ，即cos B ＝21，B ＝3π． (第18题)(Ⅱ)∵ b 2＝7＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ 7＝a 2＋c 2－ac ， 又 (a ＋c )2＝16＝a 2＋c 2＋2ac ，∴ ac ＝3，∴ S △ABC ＝21ac sin B ， 即S △ABC ＝21·3·23＝433．20．分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理． 解：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ，∴ 2(a 2－b 2)＝－2bc cos A ＋2ac cos B ， 222－c b a ＝c Ba Ab cos ＋cos －．由正弦定理得 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴222－c b a ＝c Ba Ab cos ＋cos －＝CA B B A sin cos sin －cos sin＝CB A sin －sin )(．故命题成立．。